Ejercicio 53 - Examen 4 - Problema 4 (2 p.): Desarrollo de… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

a. Determina el desarrollo en serie de Taylor de f(x) centrado en x = 0 a partir del desarrollo de log(1+t).

Solución: $f(x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^{2n}}{n^2} = x^2 - \frac{x^4}{4} + \frac{x^6}{9} - \cdots$

b. Obtén el desarrollo de Taylor de f'(x) en x = 0 y determina si dicho punto es un extremo relativo.

Solución: $f'(x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{2x^{2n-1}}{n} = 2x - x^3 + \frac{2}{3}x^5 - \cdots$; $x = 0$ es un mínimo relativo estricto.

¿Qué tipo de extremo relativo tiene f(x) en x = 0?

Solución: Mínimo relativo estricto