Problema 1 (8 Sep 2004) · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Tema: Funcions entre conjunts · Del examen Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 2) - Part 1 (2016)

Enunciado

Problema 1 (8 Sep 2004). Integral de la función inversa y sobreyectividad (2 puntos)

a.

(1 punto) Siendo ff estrictamente monótona creciente en [a,b][a, b] (0<a<b0 < a < b) tal que f(a)=1f(a) = 1, f(b)=4f(b) = 4 y ∫abf(x) dx=5\int_{a}^{b} f(x)\, dx = 5, determine el valor de:∫14f−1(y) dy.\int_{1}^{4} f^{-1}(y)\, dy.

b.

(1 punto) Razone si es posible definir una aplicación sobreyectiva y continua f:[−2,2]→(−2,2)f: [-2, 2] \to (-2, 2).

Sí

No

Enunciado: Problema 1 (8 Sep 2004) · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. (1 punto) Siendo ff estrictamente monótona creciente en [a,b][a, b] (0<a<b0 < a < b) tal que f(a)=1f(a) = 1, f(b)=4f(b) = 4 y ∫abf(x) dx=5\int_{a}^{b} f(x)\, dx = 5, determine el valor de ∫14f−1(y) dy\int_{1}^{4} f^{-1}(y)\, dy.

Solución: 4b−a−54b - a - 5

b. (1 punto) Razone si es posible definir una aplicación sobreyectiva y continua f:[−2,2]→(−2,2)f: [-2, 2] \to (-2, 2).

Solución: No

Justificación de si es posible definir una aplicación sobreyectiva y continua f:[−2,2]→(−2,2)f: [-2, 2] \to (-2, 2).

Solución: El intervalo [−2,2][-2, 2] es compacto en R\mathbb{R}. La imagen continua de un conjunto compacto debe ser compacta (Teorema de Weierstrass), por lo que f([−2,2])f([-2, 2]) debería ser un intervalo cerrado y acotado, mientras que el codominio (−2,2)(-2, 2) es abierto. Por tanto, no puede ser sobreyectiva.

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