Ejercicio 60. Examen 7 - Ejercicio 2. Límite, imagen, orden… · Fonaments Matemàtics UPC Exámenes de Cálculo - Parte 1

Tema: Funcions entre conjunts · Del examen Exámenes de Cálculo - Parte 1

Enunciado

60. Examen 7 - Ejercicio 2. Límite, imagen, orden superior y monotonía

Sea f(x)=1−e−xxf(x) = \frac{1-e^{-x}}{x} para x≠0x \neq 0 y f(0)=1f(0) = 1.

a.

Calcular f′(0)f'(0).

b.

Determinar los límites lim⁡x→±∞f(x)\lim_{x \to \pm\infty} f(x) y la imagen de ff.

c.

Calcular la derivada de orden 2003 en el origen: f(2003)(0)f^{(2003)}(0).

d.

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de ff.

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Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Calcular f'(0).

Solución: −12-\frac{1}{2}

b. Determinar el límite cuando x tiende a +infinito.

Solución: 0

b. Determinar el límite cuando x tiende a -infinito.

Solución: +∞+\infty

b. Determinar la imagen de f.

Solución: (0,+∞)(0, +\infty)

c. Calcular la derivada de orden 2003 en el origen: f^(2003)(0).

Solución: −12004-\frac{1}{2004}

d. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de f.

Solución: Estrictamente decreciente en todo su dominio (en todo R)

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