Ejercicio 2. Examen Final 2. Límites trigonométricos, Taylo… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

a. Hallar, si existe, $\lim_{x \to 0} (x^2 + \cos x) \arctan\left(\frac{1}{x^2}\right)$.

Solución: $\pi/2$

a. Hallar, si existe, $\lim_{x \to +\infty} (x^2 + \cos x) \arctan\left(\frac{1}{x^2}\right)$.

Solución: 1

b.1. Determinar el dominio de $f$.

Solución: $[-1, +\infty)$

b.2. Calcular $f'(0)$ justificando su existencia. (Valor numérico)

Solución: $-1/8$

b.2. Justificación de la existencia y cálculo de $f'(0)$.

Solución: Mediante el desarrollo de Taylor $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + o(x^2)$ se obtiene $f(x) = \frac{1}{2} - \frac{x}{8} + o(x)$, por lo que $f'(0) = -1/8$.

b.3. Demostrar que $f$ es decreciente en todo su dominio.

Solución: Racionalizando, $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}$, cuya derivada es $f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{1+x}(\sqrt{1+x}+1)^2} < 0$ para todo $x > -1$. Por tanto, es estrictamente decreciente.

b.4. ¿Cuántas soluciones tiene $f(x) = -1$?

Solución: 0

b.5. Calcular $I = \int_3^8 f(x)\,dx$ y probar que $I < 5/3$ sin usar el valor exacto. (Valor de $I$)

Solución: $2 - 2\log(4/3)$

b.5. Demostración de que $I < 5/3$ sin usar el valor exacto.

Solución: Puesto que $f$ decrece, en $[3, 8]$ se tiene $f(x) < f(3) = 1/3$, por lo que $I < \int_3^8 \frac{1}{3}\,dx = \frac{5}{3}$.

c. Estudiar la convergencia según $x \in \mathbb{R}$ de $\sum_{n=2}^{\infty} \left(\frac{n-1}{2n}\right)^n x^n$. (Intervalo de convergencia)

Solución: $(-2, 2)$

c. Estudio completo de convergencia según $x \in \mathbb{R}$.

Solución: La serie converge absolutamente para $x \in (-2, 2)$ y diverge para $x \notin (-2, 2)$ (incluidos $x = \pm 2$).

d.1. Dada $F(x) = \int_{-1}^x t(e^t - e^{t^4})\,dt$, calcular $F'(-1)$.

Solución: $e - e^{-1}$

d.2. Hallar $F(1)$.

Solución: $2/e$

d.3. Determinar el mínimo absoluto de $F$ en $[-1, 1]$.

Solución: $x = -1$ con $F(-1) = 0$

d.3. Determinar el máximo absoluto de $F$ en $[-1, 1]$.

Solución: $x = 1$ con $F(1) = 2/e$

d.3. Desarrollo y justificación de los extremos absolutos de $F$ en $[-1, 1]$.

Solución: Dado que $F'(x) = x(e^x - e^{x^4}) > 0$ para todo $x \in (-1, 1) \setminus \{0\}$, la función $F$ es estrictamente creciente en $[-1, 1]$. Por lo tanto, el mínimo absoluto se alcanza en el extremo izquierdo $x = -1$ ($F(-1) = 0$) y el máximo absoluto en el extremo derecho $x = 1$ ($F(1) = 2/e$).

e. Determinar si converge la integral $\int_1^\infty \frac{\cos x}{x^2}\,dx$.

Solución: Como $\left|\frac{\cos x}{x^2}\right| \le \frac{1}{x^2}$ y $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx$ converge, la integral converge absolutamente.