Ejercicio 5. Examen Final 5. Monotonía, series numéricas e… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

5 Examen Final 5. Monotonía, series numéricas e integración impropia

a.

Sea $f(x) = \arctan x - \frac{1}{3}\log x$. Estudiar cuántas veces se anulan $f'$ y $f$ en $[1, +\infty)$. Probar que $f$ es inyectiva en $[3, +\infty)$.

b.

Estudiar la convergencia de la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ definida por $a_1 = 1$ y $a_{n+1} = -\frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n/2} a_n$.

c.

Determinar los $x \in \mathbb{R}$ para los cuales converge la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n+\log n}$.

d.

Hallar $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin^2 x}{\log(1+x^4)}$ y $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - \sin^2 x}{\log(1+x^4)}$.

e.

Calcular la integral $\int_{-1}^1 x \arctan x\,dx$.

f.

Determinar si converge la integral impropia $\int_0^\infty \frac{\sqrt{x}}{e^{2x} - 1}\,dx$.

g.

Sea $F(x) = \int_{-1}^x t e^{t^3}\,dt$ para $x \in [-1, +\infty)$.

1. Hallar, si existen, los extremos absolutos de $F$.

2. Demostrar que $F(0) > -1/2$. Para ello, acotar el integrando: dado que en $[-1, 0]$ se tiene $e^{t^3} \le 1$ y $t \le 0$, ¿qué función $g(t)$ menor o igual que $t e^{t^3}$ permite deducir la desigualdad mediante $\int_{-1}^0 g(t)\,dt = -1/2$?