Ejercicio 12. Control I (2016). Desigualdades, límites inde… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

a.1) Determinar el conjunto $D = \left\{x \in \mathbb{R} : \frac{2x+8}{x^2+8x+7} \ge 0\right\}$

Solución: $(-7, -4] \cup (-1, +\infty)$

a.2) Determinar el conjunto $J = \{x \in \mathbb{R} : |x-1| + |x-2| > 1\}$

Solución: $(-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$

b.1) Calcular $\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$

Solución: $e^{-1/2} / \frac{1}{\sqrt{e}}$

b.2) Calcular $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-4x})$

Solución: 2

c) Determinar el número exacto de raíces de la ecuación $\log(x+2) = x-1$ en el intervalo $[0, +\infty)$

Solución: 1

d) Hallar el área del triángulo de área mínima formado por los semiejes coordenados positivos y la recta tangente a la parábola $y = 6 - x^2$

Solución: $8\sqrt{2}$

e) Análisis de la función $g(x) = e^{1/x}$

Solución: Dominio: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. Asíntota horizontal: $y = 1$ en $\pm\infty$. Límites laterales: $\lim_{x \to 0^+} e^{1/x} = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} e^{1/x} = 0$.

e) Dibujar la gráfica detallada de la función $g(x) = e^{1/x}$

Solución: La gráfica consta de dos ramas decrecientes: - Para $x < 0$: la curva parte asintóticamente de $y = 1$ en $-\infty$ y decrece hacia el punto $(0, 0)$ con límite lateral por la izquierda igual a $0$. - Para $x > 0$: la curva tiene asíntota vertical en $x = 0$ con $\lim_{x \to 0^+} e^{1/x} = +\infty$, decrece monótonamente y tiende asintóticamente a $y = 1$ cuando $x \to +\infty$.