Ejercicio 2. Problema 4. Serie de Fourier y función periódi… · Fonaments Matemàtics UPC Exámenes de Cálculo - Parte 1

Tema: Funcions entre conjunts · Del examen Exámenes de Cálculo - Parte 1

Enunciado

Sea f(x)=g(x)−1f(x) = g(x) - 1, en donde g(x)g(x) es una función de período 2 dada en [−1,1)[-1, 1) por:g(x)={xsi −1≤x<0x+2si 0≤x<1g(x) = \begin{cases} x & \text{si } -1 \leq x < 0 \\ x + 2 & \text{si } 0 \leq x < 1 \end{cases}

a)

Comprueba que f(x)f(x) tiene período 2.

b)

Demuestra que f(x)f(x) es impar.

c)

Halla el desarrollo en serie de Fourier de f(x)f(x) y señala en qué puntos de [−1,1][-1, 1] coincide con dicha serie.

d)

A partir del resultado precedente, halla la suma de la serie numérica:∑n=1∞(−1)n+12n−1\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}

Enunciado: Ejercicio 2. Problema 4. Serie de Fourier y función periódi… · Fonaments Matemàtics UPC Exámenes de Cálculo - Parte 1

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Comprueba que f(x)f(x) tiene período 2.

Solución: f(x+2)=g(x+2)−1=g(x)−1=f(x)f(x+2) = g(x+2) - 1 = g(x) - 1 = f(x)

b. Demuestra que f(x)f(x) es impar.

Solución: f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) para todo xx

c. Halla el desarrollo en serie de Fourier de f(x)f(x) (coeficiente bnb_n)

Solución: bn=21−2(−1)nnπb_n = 2\frac{1-2(-1)^n}{n\pi}

c. Señala en qué puntos de [−1,1][-1, 1] coincide con dicha serie.

Solución: x∈(−1,1)∖{0}x \in (-1, 1) \setminus \{0\} / (−1,0)∪(0,1)(-1, 0) \cup (0, 1)

d. A partir del resultado precedente, halla la suma de la serie numérica ∑n=1∞(−1)n+12n−1\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}

Solución: π/4\pi/4

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