Problema 1 · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Estudio analítico de la función (dominio, asíntotas y monotonía)

Solución: Dominio: $(-\infty, -1/2) \cup (1/2, \infty)$. Asíntotas verticales: $x = 1/2$ (por la derecha a $-\infty$) y $x = -1/2$ (por la izquierda a $-\infty$). Asíntotas horizontales: $y = 1/2$ en $+\infty$ e $y = -1/2$ en $-\infty$. Monotonía: decreciente en $(-\infty, -1/2)$ y creciente en $(1/2, \infty)$, sin extremos locales.

Representación gráfica de la función

Solución: Gráfica que muestra dos ramas separadas por la banda $(-1/2, 1/2)$ donde no está definida. Rama izquierda en $(-\infty, -1/2)$: viene decreciendo desde la asíntota horizontal $y = -1/2$ hacia $-\infty$ conforme $x \to (-1/2)^-$. Rama derecha en $(1/2, \infty)$: sube desde $-\infty$ en $x \to (1/2)^+$, corta al eje $x$ en $(3, 0)$ y se aproxima por debajo a la asíntota horizontal $y = 1/2$ hacia $+\infty$.