Ejercicios de El principi d'inducció

58 ejercicios de El principi d'inducció que han salido en los exámenes de Fonaments Matemàtics de la UPC (Grado en Ingeniería Informática) 2016. Con solución.

Problema 3 · 2016

Calcular los límites de sucesiones: a) lim n/sqrt[n]{n!}, b) lim (1 + 1/2 + ... + 1/n) / log(n^2).

Problema 4 · 2016

Analizar la convergencia y calcular el límite de la sucesión a_n = a_{n-1}^2 con a_0 = 1/2.

Problema 5 · 2016

Determinar el carácter (convergencia absoluta, condicional o divergencia) de las series: a) sum_{n=1}^inf (1+1/n)^{n^2} 3^{-n}, b) sum_{n=1}^inf (-1)^n (arctg n)^2.

Problema 6 · 2016

Calcular el radio e intervalo de convergencia y la función suma de sum_{n=0}^inf (n+1) 2^{-n} x^n.

Ejercicio 1 (Hoja 3) · 2016

Ejercicio 1 (Hoja 3). a) Escriba el número periódico 0.121212... mediante una serie y halle su forma irreducible como fracción. b) Determine el carácter de convergencia (absoluta o condicional) de la serie alternada con término (-1)^n / (log n)^n para n de 2 a infinito.

Ejercicio 2 (Hoja 3) · 2016

a) Determinar el intervalo de convergencia de sum_{n=1}^infty (n^n n! / (2n)!) x^n; b) Hallar el valor de la suma sum_{n=1}^infty (-1)^n / (2^n (2n)!).

Problema 2 (Final 15 Ene 2016) · 2016

a) Analice la convergencia de u_{n+1} = 2 - u_n/3 con u_0 = 1. b) Determine el carácter de la serie sum_{n=1}^inf (-1)^n log(1 + 1/sqrt(n)).

Problema 2 (Final 13 Ene 2017) · 2016

a) Límite de la sucesión a_{n+1} = sqrt(1 + a_n), a_0 = 0. b) Límite cuando x tiende a 0 de [sen(2x) * int_x^{x^2} (sen(t)/t) dt] / x^2.

Problema 3 (Final 13 Ene 2017) · 2016

Problema 3 (Final 13 Ene 2017). a) Obtenga el intervalo de convergencia de sum_{n=1}^infty frac{sqrt{n^2+1}}{n sqrt{n^3+1}} (x-2)^n. b) Calcule la suma de la serie sum_{n=1}^infty frac{(-4)^n}{(2n+1)!}.

Problema 2 (Extraord. 15 Jun 2017) · 2016

Problema 2 (Extraord. 15 Jun 2017). a) Calcular lim_{x->pi/2} (sen x)^(sec^2 x). b) Hallar el límite de la sucesión recurrente x_{n+1} = beta + x_n^2 / 2 con x_0 = 3/2 para beta = 1/8 y beta = 5/8.

Problema 3 (Extraord. 15 Jun 2017) · 2016

Problema 3 (Extraord. 15 Jun 2017). a) Estudie la convergencia condicional y absoluta de sum_{n=1}^\infty (-1)^n n / (1+n^2). b) Halle el intervalo de convergencia y la suma de sum_{n=1}^\infty (1-3x)^n.

Ejercicio 1 (Hoja 2) · 2016

Calcular los límites: a) lim (1 + 1/2 + ... + 1/n)/log(n); b) lim (cos(b/n) + a*sen(b/n))^n.

Ejercicio 2 (Hoja 2) · 2016

Para sucesión positiva con a_{n+1}/a_n -> l, obtener lim (a_n^n / (a_1...a_n))^(1/n^2) aplicando Stolz, y comprobar directamente para a_n = 2^n.

Ejercicio 3 (Hoja 2) · 2016

Evolución poblacional p_{n+1} = b*p_n/(a+p_n) con p_1 = 1500. Determinar población de equilibrio para: a) a = 3000, b = 5000; b) a = 3000, b = 2000.

Ejercicio 4 (Hoja 2) · 2016

Dada a_{n+1} = 1/(1+12a_n) con a_0 = 0: a) Determinar si converge mediante punto fijo y hallar su límite; b) Calcular lim (4a_{n+1}-1)/(4a_n-1).

Problema 1 (Control 3b, 21 Dic 2015) · 2016

a. Estudie la convergencia absoluta y condicional de la serie sum_{n=1}^inf (-1)^n sqrt(log(1+1/n)). b. Halle la suma de la serie sum_{n=0}^inf (-1)^n 9^(n+1) / (2n)!.

Problema 1 (Control 3, 17 Dic 2015) · 2016

a. Estudie la convergencia (absoluta y condicional) de sum_{n=1}^inf (-1)^n (log(1 + 1/n))^2. b. Calcule la suma de la serie sum_{n=0}^inf ((-1)^n 9^n)/(2n + 1)!.

Problema 3 (Control 2, 28-11-2016) · 2016

Calcula los límites de las sucesiones: a) lim_{n->infty} n / raíz n-ésima de n! y b) lim_{n->infty} (1 + 1/2 + ... + 1/n) / log(n^2).

Problema 4 (Control 2, 28-11-2016) · 2016

Analiza razonadamente la convergencia y calcula el límite, en caso de existir, de la sucesión recurrente an = an-1^2 con a0 = 1/2.

Problema 5 (Control 2, 28-11-2016) · 2016

Determina el carácter de convergencia (absoluta o condicional) de las siguientes series: a) sum_{n=1}^infty (1 + 1/n)^{n^2} 3^{-n}; b) sum_{n=1}^infty (-1)^n (arctg n)^2.

Problema 1 (Control 3, 19-12-2016) · 2016

Halla el intervalo de convergencia de la serie de potencias sum_{n=1}^infty log(1 + 1/sqrt(n))(x - 2)^n y calcula la suma exacta de sum_{n=2}^infty (-1)^n 3^n / (2n + 1)!.

Problema 1 (Control 3 variante, 19-12-2016) · 2016

Determina el intervalo de convergencia y la función suma de la serie sum_{n=0}^infty (n+1)2^{-n}x^n.

Problema 2 (Control 2, 29-11-2016) · 2016

Determina el valor de los límites: a) lim_{n->inf} n(sqrt(n^2-1) - n), b) lim_{n->inf} ((n^2+1)/(n^2-3n))^((n^2-1)/(2n))

Problema 3 (Control 2, 29-11-2016) · 2016

Calcula el valor exacto de: a) lim_{n->inf} (sum_{k=1}^n k^2 sen(1/k)) / n^2, b) lim_{n->inf} n / (n!)^(1/n)

Problema 4 (Control 2, 29-11-2016) · 2016

Considera la sucesión a_{n+1} = 2 + sqrt(4 + a_n) con a_0 = 0. Calcula lim_{n->inf} a_n justificando con el diagrama de la telaraña.

Problema 5 (Control 2, 29-11-2016) · 2016

Determina si las series convergen de manera absoluta, condicional o si divergen: a) sum (n!)^2 / (2n)!, b) sum (-1)^n (sqrt(n+1) - sqrt(n))

Ejercicio 18. Second Partial Exam (December 2017). Sucesion… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Segundo examen parcial (diciembre 2017) que contiene ejercicios de: cálculo de límites mediante Taylor y Stolz-Cesàro, término general y convergencia de una sucesión recurrente, estudio de la convergencia absoluta y condicional de series numéricas, cálculo de primitivas mediante cambio de variable e integración por…

Ejercicio 6 - Problema 4 (Enero 2015): Sucesión recurrente… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

a) Analizar la convergencia de u_0 = 8 y u_(n+1) = 12(u_n - 3)/u_n y hallar su límite. b) Obtener el intervalo de convergencia de la serie sum_(n=1)^inf (2^n x^n)/sqrt(n^2+2n).

Ejercicio 10 - Problema 3 (Control 1 Mod A): Convergencia d… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Estudiar la convergencia o divergencia de la serie sum_{n=1}^infty (-1)^(n-1) e^(1/n) / n^3 y precisar si converge absoluta o condicionalmente.

Ejercicio 11 - Problema 4 (Control 1 Mod A): Sucesión recur… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Para la sucesión dada por recurrencia a_0 = 1, a_{n+1} = 1 + 1/(1+a_n), estudie su convergencia y, en su caso, halle su límite.

Ejercicio 13 - Problema 2 (Control 1 Mod B): Límite de suma… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Halle el límite: \lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n k^3}{n^4}

Ejercicio 14 - Problema 3 (Control 1 Mod B): Convergencia c… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Estudie el carácter de la serie alternada sum((-1)^(n-1) * n / (n^2+1)) y determine si diverge, converge absolutamente o converge condicionalmente.

Ejercicio 15 - Problema 4 (Control 1 Mod B): Sucesión recur… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Dada la sucesión definida recurrentemente por a_0 = 4, a_(n+1) = (1/2)*sqrt(a_n*(a_n^2 + 3)), estudie su convergencia y halle su límite.

Ejercicio 29 - Problema 4 (Enero 2014): Límite exponencial… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

a. Calcule el límite: lim_{n->inf} (2^(n+1) - 5^(n-1))/(5^n + 3^(n+2)). b. Determine el intervalo de convergencia de sum_{n=1}^inf n!(x+3)^n / n^n.

Ejercicio 32 - Problema 2 (Examen Final): Sucesión recurren… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Problema 2 (Examen Final): Considere la sucesión definida por b_0 = 10 y b_{n+1} = 2 + b_n/3 para n >= 0. Demuestre que es monótona y acotada, y calcule su límite.

Ejercicio 34 - Problema 4 (Examen Final): Criterios de seri… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Estudie el carácter de las siguientes series numéricas: (i) sum_{n=1}^infty (n+2)^4 / n!, (ii) sum_{n=1}^infty (-1)^n / log(n). Calcule el valor exacto de la suma sum_{n=1}^infty (-1)^n 3^{n+1} / (2^{2n} n!).

Ejercicio 37 - Examen 1 - Problema 2: Sucesión recurrente y… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

a. Dada la sucesión $a_0 = 4$ y $a_{n+1} = \frac{8a_n}{a_n^2+4}$ para $n \ge 0$, representa esquemáticamente el diagrama de telaraña y calcula $\lim_{n\to\infty} a_n$. b. Calcula el límite $\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4} + \dots + \frac{n^2}{n+1}}{n^2}$.

Ejercicio 38 - Examen 1 - Problema 3: Convergencia y suma d… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Analiza el carácter de las series sum((n!)^2 3^n / (2n)!) y sum((-1)^n sin^2(1/sqrt(n))), y calcula el valor exacto de la suma de sum((-1)^n (2pi)^(2n+1) / (2^(6n) (2n)!)).

Ejercicio 41 - Examen 2 - Ejercicio 2 (1 pto.): Convergenci… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Dada la serie sum(exp((n+2)/3) / a^n), establece el rango del parámetro a para la convergencia y calcula la suma en función de a.

Ejercicio 47 - Examen 3 - Problema 2: Convergencia de suces… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Dada la sucesión a_0 = 1, a_{n+1} = \sqrt{1 + 2a_n} - 1, demostrar que converge y calcular su límite y el límite de a_{n+1}/a_n.

Ejercicio 48 - Examen 3 - Problema 3: Criterios de series y… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Determinar si convergen las series sum_{(2n)! / ((n!)^2 5^n)} y sum_{(-1)^n log(1 + 1/sqrt(n))}. Calcular el valor de la suma sum_{n=1}^infty (-1)^n (2pi)^{2n+1} / (2^{2n} n!).

Ejercicio 52 - Examen 4 - Problema 3 (2 p.): Convergencia y… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

a) Estudia el carácter de convergencia de la serie sum_{n=1}^inf (e^{2n}*sqrt(n))/(n!)^2. b) Calcula la suma exacta de la serie telescópica sum_{n=1}^inf (sqrt(n)/e^n - sqrt(n+1)/e^{n+1}).

Ejercicio 59 - Examen 6 - Ejercicio 2: Límite por L'Hôpital… · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

a. Calcula el límite lim_{x->0} log((sin x)/x)/x^2 y utilízalo para estudiar la convergencia de la serie sum_{n=1}^infty log(n sin(1/n)). b. Determina la convergencia de la serie sum_{n=1}^infty (3^n n!)/(n^(1/3) * 5 * 8 * 11 * ... * (5+3n)) y halla el límite de la sucesión (1^alpha + 2^alpha + ... +…

Ejercicio 6. Problema 4. Desarrollo en serie por fracciones… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Dada f(x) = 1/(1 - 13x + 42x^2), descompón en fracciones simples, obtén el desarrollo en serie de potencias centrado en 0 con su radio de convergencia, y calcula la suma de la serie sum_{n=0}^infty (7*(1/6^n) - 6*(1/7^n)).

Ejercicio 8. Problema 2. Serie de potencias y aproximación… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Para f(x) = (1 - x/3)/(1 - x^2), descompón en fracciones simples a1/(1-x) + a2/(1+x), halla los desarrollos en serie y su intervalo de convergencia, calcula S4(1/3), acota el resto y halla el valor exacto de S(1/3).

Ejercicio 10. Problema 2. Radio y suma de serie de potencias · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Considera la serie de potencias sum_{n=0}^infty (2^{n+1} - n)x^n. Determina su radio de convergencia, su dominio de convergencia y la función suma.

Ejercicio 13. Problema 3. Serie de potencias de función rac… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

13. Problema 3. Serie de potencias de función racional. a. Hallar la serie de potencias centrada en 0 de f(x) = x/(1-x)^2 y su intervalo de convergencia. b. Calcular la suma de sum_{n=1}^infty n (9/10)^n.

Ejercicio 15. Problema 2. Polinomio de Taylor y relaciones… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

15. Problema 2. Polinomio de Taylor y relaciones de recurrencia. a. Hallar P_2(x) de f(x) = 3 + int_0^x (1+sin t)/(2+t^2) dt centrado en x=0. b. Demostrar recurrencia y hallar a_0 y a_1 para (1-x-x^2) sum a_n x^n = 1.

Ejercicio 16. Problema 3. Suma de serie geométrica · Exámenes de Cálculo - Parte 1

16. Problema 3. Suma de serie geométrica. Estudiar la convergencia y calcular el valor exacto de la suma de sum_{n=1}^infty 159/10^(3n).

Ejercicio 18. Problema 2. Intervalo de convergencia de seri… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Halla todos los números reales x para los que resulta convergente la serie de potencias sum_{n=1}^\infty (7x)^n / \sqrt{n^2+1}.

Ejercicio 26. Examen 1 - Ejercicio 4. Convergencia de serie… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Determinar el carácter de convergencia y la suma de la serie sum_{n=2}^infty (1/sqrt(n-1) - 1/sqrt(n+1)).

Ejercicio 28. Examen 2 - Ejercicio 1. Convergencia de serie… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Estudiar si converge la serie sum_{n=1}^\infty n^7 z^n para los valores complejos z = (4-3i)/(5+i) y z = e^{-3pi i}.

Ejercicio 36. Examen 3 - Ejercicio 2. Convergencia de serie… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Determinar para qué valores reales positivos de x resulta convergente la serie numérica sum_{n=1}^inf (x^(n^2-5n))/n^3.

Ejercicio 41. Examen 4 - Ejercicio 1. Campo de convergencia… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Determinar el conjunto de todos los valores de x ∈ ℝ para los cuales converge la serie de potencias ∑_{n=0}^∞ e^(-√n) x^n.

Ejercicio 56. Examen 6 - Ejercicio 4. Suma y convergencia d… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Determinar el intervalo de convergencia de la serie sum_{n=1}^inf n 3^n x^{n-1} y calcular su suma exacta.

Ejercicio 62. Examen 7 - Ejercicio 4. Sucesión recurrente y… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Sea la sucesión definida recursivamente por a_{n+1} = ((n+2)/(3n+1)) a_n con a_1 = 1. a. Determinar el carácter de la serie sum_{n=1}^\infty a_n. b. Hallar el límite de la sucesión a_n.

Ejercicio 75. Examen 10 - Ejercicio 1. Campo de convergenci… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Consideremos la serie de funciones sum_{n=1}^\infty (x^2 + arctan n) / sqrt(1 + n^3 x^2). a. Discutir para qué valores de x en R es convergente. b. Estudiar si converge uniformemente en el intervalo [1, 2].

Ejercicio 79. Examen 10 - Ejercicio 5. Teorema fundamental… · Exámenes de Cálculo - Parte 1

Sea F(x) = \int_{-1/x}^{1/x^2} e^{-t^4} dt. a. Hallar F'(1). b. Estudiar si la serie numérica \sum_{n=1}^\infty (-1)^n F(n) es convergente.

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