Ejercicio 13. Extraordinary Test (June 2009). Ángulos entre… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

a.1. Hallar una fórmula cerrada para los ángulos de corte entre ambas curvas y determinar sus valores máximo y mínimo.

Solución: $\theta_1 = \arctan|m|$, $\tan\theta_2 = \frac{|m|}{1 + 2m^2}$. Mínimo = $0$, máximo $\to \pi/2$.

a.2. Calcular el área de la región encerrada y determinar sus extremos según m.

Solución: $A(m) = \frac{|m|^3}{6}$. Mínimo $0$ en $m = 0$, sin máximo finito.

b. Demostrar rigurosamente que la función f(x) = log(√(x^2 + 1) - x) es una función impar.

Solución: $f(-x) = -f(x)$, por tanto es impar.

c.1. lim_{x->0} (a^x - b^x)/x con a, b > 0

Solución: $\log(a/b)$

c.2. La suma de la serie geométrica sum_{n=0}^inf 3^{2n}/4^{n+1}

Solución: diverge a $+\infty$

c.3. La suma de 1 - alpha + alpha^2/2! - alpha^3/3! + ...

Solución: $e^{-\alpha}$

c.4. La primitiva int tan^2(3x) sec^2(3x) dx

Solución: $\frac{1}{9}\tan^3(3x) + C$

d. Calcular el límite de la suma de Riemann: lim_{n->inf} sum_{i=1}^n log(1 + i/n) * 1/n

Solución: $2\log 2 - 1$

e. Explicar detalladamente cómo deducir el volumen de una esfera mediante cálculo integral.

Solución: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$