Ejercicio 1. Examen Final 1. Series de potencias, extremos,… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

1 Examen Final 1. Series de potencias, extremos, límites e integrales

a.

Determinar el carácter de convergencia de la serie de potencias $\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-2)^n}{\arctan n}$ en los valores particulares:

1.

2.

3.

b.

Calcular los valores máximo y mínimo absolutos de $f(x) = \frac{1+x}{\log(1+x)}$ en el intervalo cerrado $[1,3]$. Hallar asimismo su dominio e imagen global.

c.

Calcular los límites $\lim_{x\to 0} f(x)$ y $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ para la función:$$f(x) = \frac{1 + 2x - e^{2x-2x^2}}{x^3 + \sin(x^3)}$$

d.

Calcular el valor de la integral definida:$$\int_0^{1/2} \frac{2x^3 - x^2}{2x^2 - x - 1}\,dx$$

e.

Dada la función $F(x) = \int_0^{x^3} \frac{2e^s}{1+s}\,ds - 1$:

1.

2.

f.

Estudiar la convergencia de la integral impropia $\int_0^\infty \frac{\log(1+e^{ax})}{1+x^2}\,dx$ para:

1.

2.

3.