Ejercicio 12 - Problema 1 (Control 1 Mod B): Inyectividad e… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Tema: Funcions entre conjunts · Del examen Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Enunciado

Para la función real f(x)=e3x−2f(x) = e^{3x} - 2:

a)

Justifique si es inyectiva. [0,5 puntos]

b)

Calcule su conjunto imagen. [0,5 puntos]

c)

Indique el dominio de su función inversa f−1f^{-1}. [0,5 puntos]

d)

Exprese la fórmula de f−1(x)f^{-1}(x). [0,5 puntos]

Enunciado: Ejercicio 12 - Problema 1 (Control 1 Mod B): Inyectividad e… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Justifique si es inyectiva.

Solución: Sí, es inyectiva porque f'(x) = 3e^{3x} > 0 para todo x ∈ ℝ, por lo que f es estrictamente creciente.

b. Calcule su conjunto imagen.

Solución: (-2, +∞)

c. Indique el dominio de su función inversa f^{-1}.

Solución: (-2, +∞)

d. Exprese la fórmula de f^{-1}(x).

Solución: f^{-1}(x) = \frac{1}{3}\ln(x + 2)

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