Problema 56 · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Tema: Funcions entre conjunts · Del examen Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 1) (2016)

Enunciado

a)

[1,5 puntos] Demuestre el siguiente resultado de punto fijo: «Sea f:[0,1]→[0,1]f: [0, 1] \to [0, 1] una función continua. Entonces existe al menos un valor c∈[0,1]c \in [0, 1] tal que f(c)=cf(c) = c.»

b)

[1,5 puntos] Calcule el límite:

lim⁡x→∞x[(1+1x)x−e]\lim_{x\to\infty} x\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x - e\right]

Enunciado: Problema 56 · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. (1.5 puntos) Demuestre el siguiente resultado de punto fijo: «Sea f : [0, 1] -> [0, 1] una función continua. Entonces existe al menos un valor c en [0, 1] tal que f(c) = c.»

Solución: Definir g(x)=f(x)−xg(x) = f(x) - x en [0,1][0, 1] y aplicar el Teorema de Bolzano.

b. (1.5 puntos) Calcule el límite: \lim_{x\to\infty} x\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x - e\right]

Solución: −e2-\frac{e}{2}

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