Ejercicio 4. Examen Final 4. Series de potencias, impropias… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

a. Determinar el intervalo exacto de convergencia de la serie $f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n 2^n}$

Solución: $[-2, 2)$

a. ¿Para qué valores converge la serie derivada $f'(x)$?

Solución: $(-2, 2)$

a. ¿Qué función elemental representa $f'(x)$?

Solución: $\frac{1}{2-x}$

b. 1. Estudiar si converge $\int_0^\infty [1+t^3]^{-1/2} dt$

Solución: Converge

b. 2. Hallar $\lim_{x\to +\infty} f(x)$

Solución: $0$

b. 2. Hallar $\lim_{x\to 0} f(x)$

Solución: $\frac{1}{6}$

c. 1. Calcular una primitiva de $f(x) = x\log(1+x)$

Solución: $\frac{x^2-1}{2}\log(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2}$

c. 2. Calcular el área de la región acotada entre la curva $y = f(x)$ y la recta $y = x$

Solución: $\frac{e^2-4e+5}{4}$