Ejercicio 63 - Examen 7 - Ejercicio 2: Serie de potencias y… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 3)

a. ¿Para qué valores de x converge la serie?

Solución: $\mathbb{R}$ / $(-\infty, +\infty)$

b. Sabiendo que e^x = 1 + sum_{n=1}^inf x^n/n!, demuestra que f'(x) + f(x) = e^x para todo x en R.

Solución: Derivando término a término: $f'(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$. Sumando con $f(x)$ se obtienen todas las potencias pares e impares, resultando $\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = e^x$.

c. Deduce a partir de dicha relación la expresión analítica explícita de f(x).

Solución: $\frac{e^x + e^{-x}}{2}$ / $\cosh x$