Ejercicio 3. Examen Final 3. Composición, sucesiones y repr… · Fonaments Matemàtics UPC Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Tema: Funcions entre conjunts · Del examen Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul

Enunciado

3. Examen Final 3. Composición, sucesiones y representación gráfica

Para $f(x) = \arctan(x - \log(2 - x))$ , determinar su dominio y calcular $f'(1)$ .

Calcular razonadamente el límite de la sucesión: $a_n = \frac{n^2 \sin(3/n)}{\sqrt{4n^2 + 9}}$

Sea $f(x) = |x^2 - 4|$ .

1. Hallar los $x \in \mathbb{R}$ tales que $f(x) < 3$ .

2. Calcular, si existen, $f'(-3)$ y $f'(2)$ (escribir 'no existe' si no existe).

Sea $f(x) = x^3 - 4x + \log x$ .

1. Determinar $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .

2. Hallar los puntos de anulación de $f'$ y $f''$ .

3. ¿Cuántas veces se anula $f$ en el intervalo $[1/2, 2]$ ?

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Según los criterios oficiales de corrección

a. Para f(x) = arctan(x - log(2 - x)), determinar su dominio

Solución: $(-\infty, 2)$

a. Calcular f'(1)

Solución: $1$

b. Calcular razonadamente el límite de la sucesión an

Solución: $\frac{3}{2}$

c.1. Hallar los x ∈ ℝ tales que f(x) < 3

Solución: $1 < |x| < \sqrt{7}$ / $(-\sqrt{7}, -1) \cup (1, \sqrt{7})$

c.2. Calcular f'(-3)

Solución: $-6$

c.2. Calcular f'(2)

Solución: no existe

d.1. Determinar lim_{x -> 0^+} f(x)

Solución: $-\infty$

d.1. Determinar lim_{x -> +∞} f(x)

Solución: $+\infty$

d.2. Hallar los puntos de anulación de f'

Solución: $x = 1$ , $x = \frac{-3 + \sqrt{21}}{6}$

d.2. Hallar los puntos de anulación de f''

Solución: $x = 1/\sqrt[3]{6}$

d.3. Precisar cuántas veces se anula f en [1/2, 2]

Solución: $1$

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