Ejercicio 7. Problema 1. Estudio de función racional y gráf… · Fonaments Matemàtics UPC Exámenes de Cálculo - Parte 1

Tema: Funcions entre conjunts · Del examen Exámenes de Cálculo - Parte 1

Enunciado

Dada la función f(x)=2xx−1f(x) = \frac{2x}{x - 1}:

a)

Determina el dominio de definición y el recorrido de ff.

b)

¿Es ff una función inyectiva?

Sí

No

c)

Calcula los límites laterales lim⁡x→1+f(x)\lim_{x \to 1^+} f(x) y lim⁡x→1−f(x)\lim_{x \to 1^-} f(x), así como su función derivada.

d)

Elabora un bosquejo de la gráfica de f(x)f(x) indicando asíntotas y monotonía, y halla la expresión de la función inversa x=g(y)x = g(y) a partir de y=f(x)y = f(x).

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Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Determina el dominio de definición de f.

Solución: R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\}

a) Determina el recorrido de f.

Solución: R∖{2}\mathbb{R} \setminus \{2\}

b) Demuestra si f es una función inyectiva.

Solución: Sí

c) Calcula el límite lateral \lim_{x \to 1^+} f(x)

Solución: +∞+\infty

c) Calcula el límite lateral \lim_{x \to 1^-} f(x)

Solución: −∞-\infty

c) Calcula su función derivada.

Solución: −2(x−1)2-\frac{2}{(x-1)^2}

d) Expresión de la función inversa x = g(y) a partir de y = f(x).

Solución: yy−2\frac{y}{y - 2}

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