Exámenes de Fonaments Matemàtics UPC 2016
Los 2 exámenes de Fonaments Matemàtics de la UPC (Grado en Ingeniería Informática) de 2016 (Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 1)), con 160 problemas resueltos. Entran temas como Mètodes de demostració, El principi d'inducció, Conjunts i demostracions amb conjunts y Funcions entre conjunts. Practícalos con corrección al momento, pistas en cada apartado y la solución paso a paso.
Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 1) (2016)
Temas del examen: Mètodes de demostració · El principi d'inducció · Conjunts i demostracions amb conjunts · Funcions entre conjunts
- Problema 1 · Funcions entre conjunts
Efectuar el estudio y representar gráficamente la función f(x) = (x - 3)/sqrt(4x^2 - 1). - Problema 2 · Funcions entre conjunts
Hallar el límite cuando x tiende a 0 de (tg x - sen x)/x^3 aplicando los desarrollos de Taylor. - Problema 3 · El principi d'inducció
Calcular los límites de sucesiones: a) lim n/sqrt[n]{n!}, b) lim (1 + 1/2 + ... + 1/n) / log(n^2). - Problema 4 · El principi d'inducció
Analizar la convergencia y calcular el límite de la sucesión a_n = a_{n-1}^2 con a_0 = 1/2. - Problema 5 · El principi d'inducció
Determinar el carácter (convergencia absoluta, condicional o divergencia) de las series: a) sum_{n=1}^inf (1+1/n)^{n^2} 3^{-n}, b) sum_{n=1}^inf (-1)^n (arctg n)^2. - Problema 6 · El principi d'inducció
Calcular el radio e intervalo de convergencia y la función suma de sum_{n=0}^inf (n+1) 2^{-n} x^n. - Problema 7 · Funcions entre conjunts
Hallar las primitivas: a) ∫ sen^2(x) cos^2(x) dx; b) ∫ e^(4x) / (e^(2x) + 2e^x + 2) dx. - Problema 8 · Funcions entre conjunts
Calcular el valor de la integral definida $\int_1^2 \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\,dx$. - Problema 9 · Funcions entre conjunts
Calcular el volumen del cuerpo obtenido al rotar alrededor del eje X la región delimitada por las curvas y = sen(x/2), y = x, x ∈ [0, 2π]. - Problema 10 · Funcions entre conjunts
Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva y(x) = \int_{x^2}^{x} e^{t^2} dt en el punto de abscisa x = 1 (sin calcular la integral explícitamente). - Problema 11 · Funcions entre conjunts
Hallar el dominio de definición, continuidad y derivabilidad de la función definida a trozos f(x). - Problema 12 · Funcions entre conjunts
Calcular los límites indeterminados de lim_{x->0} (cos x)^{1/(1-cosh x)} y lim_{x->0} arcsen x / log(sqrt(1+x)). - Problema 13 · Funcions entre conjunts
Hallar las dimensiones óptimas de una caja rectangular abierta de 64 cm³ de base cuadrada y su coste mínimo en euros. - Problema 14 · Funcions entre conjunts
Determinar el dominio de definición, de continuidad y de derivabilidad de la función definida a trozos g(x) que incluye la función signo. - Problema 15 · Funcions entre conjunts
Calcular los límites: a) lim_{x -> π/4} (tan x)^(1/(4x - π)) y b) lim_{x -> 0} log((1+x)^(1/3)) / (π/2 - arccos x). - Problema 16 · Funcions entre conjunts
Hallar las dimensiones (radio y altura) de una caja cilíndrica abierta de volumen 64 cm³ para que su coste sea mínimo (base: 25 céntimos/cm², superficie lateral: 50 céntimos/cm²). Calcular también el… - Problema 17 · Funcions entre conjunts
Dada la función definida a trozos h(x), determinar su dominio de definición, de continuidad y de derivabilidad. - Problema 18 · Funcions entre conjunts
Calcular los límites: a) lim_{x->0} (1 + senh x)^(1/sen x) y b) lim_{x->0} (arctg x - x)/log(x^2 + 1). - Problema 19 · Funcions entre conjunts
Hallar las dimensiones de una caja en forma de prisma triangular regular abierto de 64 cm³ de volumen para minimizar el coste (base: 20 céntimos/cm², caras laterales: 10 céntimos/cm²). Calcular… - Problema 20 · Funcions entre conjunts
Encontrar el valor de la constante a para que la función definida a trozos f(x) = (4 sen x)/x si x < 0 y f(x) = a - 2x si x >= 0 sea continua en todo R. - Problema 21 · Mètodes de demostració
Dada la función f(x) = 2x - 1, calcula el límite L = lim_{x->3} f(x), encuentra delta para epsilon = 0.01 y expresa delta en función de epsilon para asegurar la definición formal de límite. - Problema 22 · Funcions entre conjunts
Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva x^(2/3) + y^(2/3) = 5 en el punto (8, 1). - Problema 23 · Funcions entre conjunts
Dada la función f(x) = e^(-2x), calcular el polinomio de Taylor de f de grado 3 centrado en c = 0. - Problema 24 · Funcions entre conjunts
Encontrar el valor de a para que la función f(x) = (1 - cos x)/x^2 si x < 0 y f(x) = a + x^2 si x >= 0 sea continua en todo R. - Problema 25 · Mètodes de demostració
Dada f(x) = 3x + 1: a) Calcular L = lim_{x->3} f(x). b) Hallar delta para |f(x) - L| < 0.05 cuando 0 < |x - 3| < delta. c) Dar delta en función de epsilon. - Problema 26 · Funcions entre conjunts
Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y^2(x + y^2) = 2x^2 en el punto (1, 1). - Problema 27 · Funcions entre conjunts
Dada la función f(x) = sqrt(x + 1), calcular el polinomio de Taylor de f de grado 2 centrado en c = 0. - Problema 28 · Funcions entre conjunts
Determinar el valor del parámetro real a para que la función f(x) = (x^2 - a^2)/(x - a) si x != a, f(a) = 3 sea continua en todo R. - Problema 29 · Funcions entre conjunts
Dada la función f(x) = (1/4)x + 2: a) Calcula el límite L cuando x tiende a -4. b) Encuentra un valor de delta tal que |f(x) - L| < 0.01 siempre que 0 < |x + 4| < delta. c) Halla una fórmula para… - Problema 30 · Funcions entre conjunts
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva (4 - x)y^2 = x^3 en el punto (2,2). - Problema 31 · Funcions entre conjunts
Dada la función f(x) = 1/x^2, calcular el polinomio de Taylor de grado 2 centrado en c = 1. - Problema 32 · Conjunts i demostracions amb conjunts
Determinar el conjunto E de los números reales x que satisfacen (2x + 8)/(x^2 + 8x + 7) > 0. - Problema 33 · Funcions entre conjunts
Calcular los límites: a) lim_{x->1/2} (2x^2+3x-2)tan(pi x) y b) lim_{x->-inf} (sqrt(x^2+1)-sqrt(x^2-4x)). - Problema 34 · Funcions entre conjunts
Para f(x)=log(1+x^2), calcular los puntos de inflexión, las rectas tangentes en dichos puntos y bosquejar la gráfica con sus tangentes. - Problema 35 · Funcions entre conjunts
Se considera la función en el plano f(x,y) = (x+y)/sqrt(x^2+y^2) si (x,y) != (0,0) y 0 si (x,y) = (0,0). a. Estudiar las propiedades de continuidad de f en todo el plano. b. Calcular las derivadas… - Problema 36 · Funcions entre conjunts
Se considera la función f(x, y) = x^2 + 4y^2 - 2x - 4y sobre la región R = {(x, y) in R^2 : x^2 + 4y^2 <= 4}. a. Representar R e identificar su frontera. b. Hallar los extremos absolutos de f en R. - Problema 37 · Conjunts i demostracions amb conjunts
Sea D la región del semiplano superior comprendida en el segundo cuadrante entre x^2 + y^2 = 4 y x^2 + y^2 = 9. a. Definir la región D. b. Calcular la integral doble de (x^2 * e^(-a(x^2+y^2))) / (x^2… - Problema 38 · Funcions entre conjunts
Considerar el sólido acotado en el primer octante por los planos coordenados y x + y + z = 1. a) Describir la región de integración. b) Calcular la integral triple de 1/(x+y+z+1)^3. - Problema 39 · Funcions entre conjunts
Calcular el flujo del campo vectorial F(x, y, z) = (zx, zy, x^2 y^2) a través de la superficie cerrada S = S1 U S2 orientada hacia el exterior, donde S1: z = 4 - 2(x^2 + y^2), 0 <= z <= 4 y S2: z =… - Problema 40 · Funcions entre conjunts
Resolver mediante la transformada de Laplace el problema de valor inicial y'(t) - y(t) = 2(e^t cos(2t) - e^(-t)), y(0) = 1. - Problema 41 · Conjunts i demostracions amb conjunts
Determinar y expresar en forma de intervalos los subconjuntos de R: a. D = {x in R : (2x+8)/(x^2+8x+7) >= 0}, b. E = {x in R : |x^2 - 4| < 2}. - Problema 42 · Funcions entre conjunts
Calcular los límites: a. lim_{x -> +inf} ((2x+7)/(2x-6))^(sqrt(4x^2+x-3)), b. lim_{x -> inf} x^2 (e^(3/x) - e^(1/x) - 2/x). - Problema 43 · Funcions entre conjunts
Para f(x) = |x^3(x+4)|: a. Analizar continuidad y derivabilidad en todo su dominio. b. Calcular los valores máximo y mínimo absolutos en [-5, 1]. - Problema 44 · Funcions entre conjunts
Encuentre los puntos de la curva parabólica y = 4 - x^2 que se encuentran a una distancia mínima del punto (0, 2). - Problema 45 · Funcions entre conjunts
Efectúe el estudio detallado (dominio, asíntotas, monotonía, extremos relativos y curvatura) y dibuje la gráfica de las siguientes funciones: a) f(x) = (2x^2 - 2x - 4)/(x - 3) b) g(x) = e^x/(x - 1) - Problema 46 · Funcions entre conjunts
Halle la siguiente integral indefinida: ∫ sen²(3x) dx - Problema 47 · Funcions entre conjunts
Calcule la primitiva: \int (x^2 + 1)\cosh(2x)\,dx - Problema 48 · Funcions entre conjunts
Calcule la primitiva de la función racional: \int \frac{x - 1}{x^2 + x - 20}\,dx - Problema 49 · Funcions entre conjunts
Halle el resultado de la siguiente integral indefinida: $\int \frac{x + 3 + \sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}\, dx$ - Problema 50 · Funcions entre conjunts
Aproxime el valor de la función f(x) = \sqrt[3]{x + 27} en x = 1/3 usando el polinomio de Taylor de grado 2 centrado en el origen y estime una cota superior del error mediante el resto de Lagrange. - Problema 51 · Funcions entre conjunts
Calcule las siguientes primitivas: a) ∫(1-x)(cos x + cosh x) dx y b) ∫(1-x)/((x^2 - 5x + 6)(x - 2)) dx. - Problema 52 · Funcions entre conjunts
Se desea cercar un terreno rectangular de 400 m² donde dos lados opuestos cuestan 1 €/m y los otros dos 2 €/m. Determine las dimensiones de los lados para minimizar el coste total. - Problema 53 · Funcions entre conjunts
Obtenga una aproximación de f(x) = 1/((x+8)^2)^(1/3) en x = 1/10 mediante el polinomio de Taylor de grado 2 centrado en el origen y estime una cota del error con el resto de Lagrange. - Problema 54 · Funcions entre conjunts
Calcule las siguientes integrales indefinidas: a) ∫(2x+1)ln(x²+x)dx, b) ∫(1-x)/((x+1)(x²+1))dx. - Problema 55 · Funcions entre conjunts
Un productor de pintura puede generar entre 10 y 30 m^3 diarios. El beneficio en cientos de euros es B(x) = (x-15)^3/1000 - 3(x-15)/10 + 300. Halle el volumen de producción que maximiza el beneficio. - Problema 56 · Funcions entre conjunts
a) Demuestre que si f: [0,1] -> [0,1] es continua, existe c en [0,1] tal que f(c) = c. b) Calcule el límite de x*[(1+1/x)^x - e] cuando x tiende a infinito. - Problema 57 · Mètodes de demostració
Dada la función integral F(x) = ∫_1^x e^(√t - 1) dt, calcular el polinomio de Taylor de grado 2 en x = 1, aproximar F(5/4) mediante dicho polinomio y acotar el error cometido. - Problema 58 · Funcions entre conjunts
Problema 3 de Diciembre 2000: a) Calcular la integral indefinida ∫ (3x - 4)/(x^2 + 2x + 4)^2 dx. b) Esbozar la gráfica de f(x) = x/ln(x). - Problema 59 · Funcions entre conjunts
Calcular el parámetro real alpha para que lim_{x->inf} x^alpha (sqrt[4]{x+1}-sqrt[4]{x}) sea finito y no nulo, hallar el límite y esbozar r = 1 - sen(theta) en coordenadas polares. - Problema 60 · Funcions entre conjunts
Calcular el polinomio de Taylor de grado 3 en x=0 para f(x)=ln(1+sen x) y estimar el error de aproximación por P_2(x) en x=0.1 usando el resto de Lagrange. - Problema 61 · Mètodes de demostració
Enunciar el TFC, estudiar la continuidad y derivabilidad en x=1 de F(x)=int_0^x f(t)dt con f(t) definida a trozos y calcular la integral indefinida int (2x+1)/(x^2-2x+5)^2 dx. - Problema 62 · Funcions entre conjunts
Calcular lim_{x->inf} [sqrt((x+a)(x+b)) - x], hallar el dominio de arcsen(1-x^2) y calcular lim_{x->0^+} f(x)ln x sabiendo f derivable en 0 y f(0)=0. - Problema 63 · Mètodes de demostració
Dada la función integral F(x) = ∫₁ˣ e^(∛t - 1) dt: a) Enunciar el teorema de Taylor con resto de Lagrange. b) Hallar el polinomio de Taylor de grado 2 centrado en x = 1. c) Aproximar F(5/4) con dicho… - Problema 64 · Funcions entre conjunts
Septiembre 2001 - Problema 3: a. Calcule la integral indefinida ∫ (cos x)/(3 + cos² x) dx. b. Calcule la longitud del tramo de curva en polares r = 3 sec θ para 0 ≤ θ ≤ π/3. - Problema 65 · Funcions entre conjunts
Febrero 2002 - Problema 1: Analice la continuidad y la derivabilidad en el punto x = 0 de la función f(x) = (sen x)^x si x > 0 y f(x) = 1 si x ≤ 0. - Problema 66 · Mètodes de demostració
Febrero 2002 - Problema 2: a. Enuncie con precisión el Teorema de Rolle. b. Determine el número exacto de soluciones reales que posee la ecuación x³ + x² + x + 5 = 0, aportando una cota o… - Problema 67 · Funcions entre conjunts
Febrero 2002 - Problema 3: Dada la función F(x) = ∫_0^x e^(t²) cos t dt, determine: a. El polinomio de Taylor de grado 5 de F(x) centrado en x = 0. b. El error cometido al estimar F(0,1) ≈ 0,1. - Problema 68 · Funcions entre conjunts
Febrero 2002 - Problema 4 (3 puntos): a) Calcular la integral indefinida de (3x + 2)/(x^4 + 2x^2 + 1). b) Calcular el área delimitada entre la gráfica de f(x) = (x^2 - 1)cos(x) y el eje de abscisas… - Problema 69 · Funcions entre conjunts
Calcular los límites: a) lim_{x->0} x^(1/5) * cos(f(x)) con f arbitraria en un entorno perforado del origen; b) lim_{x->0} ((1+x)^sqrt(x^2+5) - 1)/x. - Problema 70 · Mètodes de demostració
Teorema del valor medio y tangentes: a) Enuncie y demuestre el Teorema del Valor Medio de Lagrange, aportando su correspondiente interpretación geométrica. b) Encuentre un punto sobre el arco de la… - Problema 71 · Funcions entre conjunts
Problema 3 (Enero 2003): Dada f(x) = ln(cos x) / (1 - x^3): a) Calcular los cinco primeros términos de su polinomio de Taylor en torno al origen P_5(x). b) Calcular lim_{x -> 0} (f(x) - P_5(x)) / x^6. - Problema 72 · Funcions entre conjunts
Problema 4 (Enero 2003): Calcular la integral indefinida int dx / (3 + 5 cos x). - Problema 73 · Mètodes de demostració
Estudie la convergencia de la integral impropia de (1 - cos x)/x^2 entre -infinito e infinito. - Problema 74 · Funcions entre conjunts
Calcule los siguientes límites cuando x tiende a menos infinito: a) lim_{x->-inf} [x^2 * arctan(1/x) - ln(1+x^2)] b) lim_{x->-inf} ((2x+7)/(2x-6))^(sqrt(4x^2+x-3)) - Problema 75 · Funcions entre conjunts
Determine si la función g(x) = |x - 1| ∫_{-1}^{x} sen(t^3) dt es derivable en el punto x = 1 y, en caso afirmativo, halle el valor de g'(1). - Problema 76 · Funcions entre conjunts
Calcular aproximadamente g(0) para g(x) = |x - 1| \int_{-1}^{x} \operatorname{sen}(t^3)\,dt con un error menor que 10^{-3}. - Problema 77 · Funcions entre conjunts
Esbozar la gráfica de la cardioide r(\theta) = a(1 + \cos\theta) con \theta \in [0, 2\pi], a > 0, y calcular su longitud total. - Problema 78 · Mètodes de demostració
Encontrar los valores del parámetro a \in \mathbb{R} para los cuales \int_0^\infty (x + \operatorname{sen}\sqrt{x})^a\,dx converge.
Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 2) - Part 1 (2016)
Temas del examen: Mètodes de demostració · El principi d'inducció · Conjunts i demostracions amb conjunts · Funcions entre conjunts
- Problema 1 (4 Feb 2004) · Funcions entre conjunts
Problema 1: a) Verificar que F(x) = \int_{x}^{x+T} f(t) dt es constante si f es continua y periódica de periodo T. b) Calcular y justificar lim_{x->\infty} [f(x+c) - f(x)] si f es diferenciable con… - Problema 2 (4 Feb 2004) · Funcions entre conjunts
Problema 2 (4 Feb 2004). a) Hallar el valor de a para que las curvas f(x) = e^(x/2) y g(x) = sqrt((a+x)/(a-x)) difieran con un error de orden estrictamente superior o igual a x^3. b) Calcular… - Problema 3 (4 Feb 2004) · Funcions entre conjunts
Dada la función F(x) = int_0^x alpha*t*ln|t| dt con alpha != 0, determinar para qué valores de alpha se garantiza la existencia de al menos una raíz en el intervalo cerrado [1, e]. - Problema 4 (4 Feb 2004) · Funcions entre conjunts
Determine el área de la región comprendida entre la curva f(x) = (x^2 - 4)/(x^2 + 4) y su asíntota horizontal. - Problema 5 (4 Feb 2004) · Funcions entre conjunts
Sea F(x) = int_0^x e^(-t^2) dt. Obtener el polinomio de Taylor de tercer grado en x = 0 de F(x). Aproximar F(1/10) con dicho polinomio y acotar el error. - Problema 1 (8 Sep 2004) · Funcions entre conjunts
a. Determinar integral_1^4 f^(-1)(y) dy sabiendo que f es monótona creciente en [a, b], f(a)=1, f(b)=4 e integral_a^b f(x)dx=5. b. Razonar si es posible definir f continua y sobreyectiva de [-2, 2]… - Problema 2 (8 Sep 2004) · Funcions entre conjunts
Calcule el límite cuando x tiende a 0 de (e^{x^4} - e^{sen x}) / (x^4 - sen x). - Problema 3 (8 Sep 2004) · Funcions entre conjunts
Localice y clasifique los extremos relativos de f(x) = \int_0^{x^5} dt/(5 + cos^4 t) para x en [0, \infty). - Problema 4 (8 Sep 2004) · Mètodes de demostració
Calcule la longitud de la cardioide definida en coordenadas polares por r(θ) = a(1 + cos θ) con θ ∈ [0, 2π] y a > 0. - Problema 5 (8 Sep 2004) · Funcions entre conjunts
Dada la función F(x) = ∫_0^1 s^k sen(sx) ds con k > 0 y x ≥ 0: a) Demostrar el cambio de variable F(x) = (1/x^{k+1}) ∫_0^x t^k sen t dt; b) Hallar F'(0^+); c) Justificar que cumple x F'(x) +… - Ejercicio 1 (Hoja 3) · El principi d'inducció
Ejercicio 1 (Hoja 3). a) Escriba el número periódico 0.121212... mediante una serie y halle su forma irreducible como fracción. b) Determine el carácter de convergencia (absoluta o condicional) de la… - Ejercicio 2 (Hoja 3) · El principi d'inducció
a) Determinar el intervalo de convergencia de sum_{n=1}^infty (n^n n! / (2n)!) x^n; b) Hallar el valor de la suma sum_{n=1}^infty (-1)^n / (2^n (2n)!). - Ejercicio 3 (Hoja 3) · Mètodes de demostració
Calcule el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de (2*int(sen(t^2)/t, t, 0, sqrt(x)) - x) / x^3. - Ejercicio 4 (Hoja 3) · Funcions entre conjunts
Halle las siguientes primitivas: a) ∫ sen⁴(x) dx, b) ∫ 3/(x² - 2x + 2) dx, c) ∫ √(√x + 1) dx, d) ∫ x² log(x) dx. - Ejercicio 5 (Hoja 3) · Funcions entre conjunts
Calcule la superficie encerrada entre la curva f(x) = (x^2+3)/(x^2+4) y su asíntota horizontal. - Problema 1 (Final 15 Ene 2016) · Funcions entre conjunts
Realice la representación gráfica completa de la función f(x) = x^(2/3)/(x+1). - Problema 2 (Final 15 Ene 2016) · El principi d'inducció
a) Analice la convergencia de u_{n+1} = 2 - u_n/3 con u_0 = 1. b) Determine el carácter de la serie sum_{n=1}^inf (-1)^n log(1 + 1/sqrt(n)). - Problema 3 (Final 15 Ene 2016) · Funcions entre conjunts
a) Obtenga la serie de Taylor de f(t) = (e^(t^2)-1)/t y determine su intervalo de convergencia. b) Deduzca el desarrollo en serie de Taylor de g(x) = int_0^sqrt(x) (e^(t^2)-1)/t dt. c) Calcule el… - Problema 4 (Final 15 Ene 2016) · Funcions entre conjunts
Problema 4 (Final 15 Ene 2016). a) Calcular la integral definida de x^2/sqrt(4 - x^2) entre 0 y 1. b) Calcular el volumen de revolución generado al rotar la elipse x^2/4 + 9y^2 <= 1 alrededor del eje… - Problema 1 (Final 13 Ene 2017) · Funcions entre conjunts
Representar gráficamente la función f(x) = sqrt(|x-1|)/(x+1) prescindiendo del cálculo de la segunda derivada. - Problema 2 (Final 13 Ene 2017) · El principi d'inducció
a) Límite de la sucesión a_{n+1} = sqrt(1 + a_n), a_0 = 0. b) Límite cuando x tiende a 0 de [sen(2x) * int_x^{x^2} (sen(t)/t) dt] / x^2. - Problema 3 (Final 13 Ene 2017) · El principi d'inducció
Problema 3 (Final 13 Ene 2017). a) Obtenga el intervalo de convergencia de sum_{n=1}^infty frac{sqrt{n^2+1}}{n sqrt{n^3+1}} (x-2)^n. b) Calcule la suma de la serie sum_{n=1}^infty… - Problema 4 (Final 13 Ene 2017) · Funcions entre conjunts
Calcular la integral definida entre e y e^2 de (e^{3x} + 2e^x)/(e^{2x} - 4e^x + 5) dx. - Problema 5 (Final 13 Ene 2017) · Funcions entre conjunts
Calcule el volumen del sólido generado al revolucionar alrededor del eje vertical Y la región {0 ≤ x ≤ 1, arctg x ≤ y ≤ π/4}. - Problema 1 (Extraord. 15 Jun 2017) · Funcions entre conjunts
Dibuje la gráfica de la función periódica f(x) = 1/(1+tg x) indicando sus asíntotas, monotonía y puntos de inflexión. - Problema 2 (Extraord. 15 Jun 2017) · El principi d'inducció
Problema 2 (Extraord. 15 Jun 2017). a) Calcular lim_{x->pi/2} (sen x)^(sec^2 x). b) Hallar el límite de la sucesión recurrente x_{n+1} = beta + x_n^2 / 2 con x_0 = 3/2 para beta = 1/8 y beta = 5/8. - Problema 3 (Extraord. 15 Jun 2017) · El principi d'inducció
Problema 3 (Extraord. 15 Jun 2017). a) Estudie la convergencia condicional y absoluta de sum_{n=1}^\infty (-1)^n n / (1+n^2). b) Halle el intervalo de convergencia y la suma de sum_{n=1}^\infty… - Problema 4 (Extraord. 15 Jun 2017) · Funcions entre conjunts
a. Calcule el área delimitada por f(x) = 1/(1+tg x) y el eje horizontal para x en [0, pi/4]. b. Calcule el volumen generado al girar en torno al eje horizontal la región acotada en el primer… - Problema 1 (Control 1, 27 Oct 2015) · Conjunts i demostracions amb conjunts
Determine explícitamente los conjuntos de la recta real: a. D = {x in R : (2x+8)/(x^2+8x+7) >= 0} b. E = {x in R : |x^2 - 4| < 2} - Problema 2 (Control 1, 27 Oct 2015) · Funcions entre conjunts
Calcule los límites: a. lim_{x -> +inf} ((2x+7)/(2x-6))^{sqrt(4x^2+x-3)} b. lim_{x -> inf} x^2 (e^{3/x} - e^{1/x} - 2/x) - Problema 3 (Control 1, 27 Oct 2015) · Funcions entre conjunts
Estudie la continuidad y la derivabilidad en toda la recta real de la función f(x) = |x³(x + 4)|. - Problema 4 (Control 1, 27 Oct 2015) · Funcions entre conjunts
Halle los puntos de la curva y = 4 - x² que se encuentran a distancia mínima del punto (0, 2). - Problema 5 (Control 1, 27 Oct 2015) · Funcions entre conjunts
Represente la gráfica de una de las siguientes dos funciones: a. f(x) = (2x² - 2x - 4)/(x - 3); b. g(x) = e^x / (x - 1). - Ejercicio 1 (Hoja 1) · Funcions entre conjunts
Calcule los siguientes límites en caso de existir: a. lim_{x->pi/2} (sen x)^(3 / cos^2 x); b. lim_{t->0} (1 - 2e^(1/t)) / (3 + 4e^(1/t)). - Ejercicio 2 (Hoja 1) · Mètodes de demostració
Demuestre que la ecuación 2x + sen(pi*x/2) = 10/(1+sqrt(x)) posee una única solución en [0, inf) y halle un intervalo de enteros consecutivos [n, n + 1] que la contenga. - Ejercicio 3 (Hoja 1) · Funcions entre conjunts
Sea f diferenciable con f(1/2) = -3 y f'(x) = sqrt(x^2 + 2). Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g(x) = x^2 f((x-1)/x) en el punto de abscisa x = 2. - Ejercicio 4 (Hoja 1) · Funcions entre conjunts
Determine el menor valor de alpha para el cual la función f(x) = |alpha*x^2 - 2*alpha*x + 3| resulta derivable en todo R. - Ejercicio 5 (Hoja 1) · Funcions entre conjunts
De entre todos los sectores circulares de perímetro fijado en 60 cm, halle el radio y el ángulo central que maximizan su área. - Ejercicio 1 (Hoja 2) · El principi d'inducció
Calcular los límites: a) lim (1 + 1/2 + ... + 1/n)/log(n); b) lim (cos(b/n) + a*sen(b/n))^n. - Ejercicio 2 (Hoja 2) · El principi d'inducció
Para sucesión positiva con a_{n+1}/a_n -> l, obtener lim (a_n^n / (a_1...a_n))^(1/n^2) aplicando Stolz, y comprobar directamente para a_n = 2^n. - Ejercicio 3 (Hoja 2) · El principi d'inducció
Evolución poblacional p_{n+1} = b*p_n/(a+p_n) con p_1 = 1500. Determinar población de equilibrio para: a) a = 3000, b = 5000; b) a = 3000, b = 2000. - Ejercicio 4 (Hoja 2) · El principi d'inducció
Dada a_{n+1} = 1/(1+12a_n) con a_0 = 0: a) Determinar si converge mediante punto fijo y hallar su límite; b) Calcular lim (4a_{n+1}-1)/(4a_n-1). - Problema 1 (Control 3b, 21 Dic 2015) · El principi d'inducció
a. Estudie la convergencia absoluta y condicional de la serie sum_{n=1}^inf (-1)^n sqrt(log(1+1/n)). b. Halle la suma de la serie sum_{n=0}^inf (-1)^n 9^(n+1) / (2n)!. - Problema 2 (Control 3b, 21 Dic 2015) · Mètodes de demostració
Calcule la integral definida int_0^{1/2} (x^3 / sqrt(1 - x^2)) dx. - Problema 3 (Control 3b, 21 Dic 2015) · Funcions entre conjunts
Obtener el límite cuando x tiende a 0+ de \int_0^{x^3} (sen(t)/t) dt / (1 - cos(x^(3/2))). - Problema 4 (Control 3b, 21 Dic 2015) · Funcions entre conjunts
Calcule el área comprendida entre g(x) = e^x / (e^x + 1) y su asíntota horizontal para x >= 0. - Problema 5 (Control 3b, 21 Dic 2015) · Conjunts i demostracions amb conjunts
Halle el volumen engendrado al girar sobre el eje X la superficie C = {0 <= x <= 3, 0 <= y <= x/3} U {3 <= x <= 4, 0 <= y <= sqrt(1 - (x-3)^2)}. - Problema 1 (Control 3, 17 Dic 2015) · El principi d'inducció
a. Estudie la convergencia (absoluta y condicional) de sum_{n=1}^inf (-1)^n (log(1 + 1/n))^2. b. Calcule la suma de la serie sum_{n=0}^inf ((-1)^n 9^n)/(2n + 1)!. - Problema 2 (Control 3, 17 Dic 2015) · Funcions entre conjunts
Calcule una de las dos integrales: a) integral de 0 a log(2) de sqrt(e^x - 1) dx; b) integral de 0 a sqrt(2)/2 de x^2 / sqrt(1 - x^2) dx. - Problema 3 (Control 3, 17 Dic 2015) · Mètodes de demostració
Calcule uno de los siguientes límites: a. lim_{x->0} (\int_0^{x^2} e^{t^2} dt - x^2) / x^6; b. lim_{x->0^+} (\int_0^x (sen t)/t dt) / (1 - cos(\sqrt{x})). - Problema 4 (Control 3, 17 Dic 2015) · Funcions entre conjunts
Calcule el área entre la curva y su asíntota para uno de los siguientes casos: a. f(x) = (x^2 - 4)/(x^2 + 4) en todo R. b. g(x) = 1/(1 + e^(-x)) para x >= 0. - Problema previo (apartado b) · Funcions entre conjunts
Calcula el volumen del cuerpo obtenido al hacer girar sobre el eje de abscisas la región acotada por las curvas y = 1 - log(1 + x) e y = log(1 + x) entre x = 0 y el punto de corte. - Problema 1 (Control 1, 25-10-2016) · Conjunts i demostracions amb conjunts
Determina y describe como intervalos o unión de intervalos: a) D = {x in R : (2x+8)/(x^2+8x+7) >= 0}; b) E = {x in R : |x^2-4| < 2}. - Problema 2 (Control 1, 25-10-2016) · Funcions entre conjunts
Obtén el valor de los límites: a) lim_{x->+inf} ((2x+7)/(2x-6))^(sqrt(4x^2+x)-3); b) lim_{x->inf} x^2(e^(3/x) - e^(1/x) - 2/x). - Problema 3 (Control 1, 25-10-2016) · Funcions entre conjunts
Analiza de forma razonada la continuidad y la derivabilidad en todo su dominio de la función f(x) = |x³(x + 4)|. - Problema 4 (Control 1, 25-10-2016) · Funcions entre conjunts
Problema 4 (Control 1, 25-10-2016). Encuentra los puntos pertenecientes a la parábola y = 4 - x^2 que se encuentran a distancia mínima del punto (0, 2). - Problema 5 (Control 1, 25-10-2016) · Funcions entre conjunts
Realiza el estudio completo (dominio, asíntotas, monotonía, extremos relativos y curvatura) y esboza la gráfica de una de las dos funciones dadas: a. f(x) = (2x^2-2x-4)/(x-3) o b. g(x) = e^x/(x-1). - Problema 1 (Control 1, 24-10-2016) · Conjunts i demostracions amb conjunts
Identifica y expresa como unión de intervalos los conjuntos definidos por: a. D = {x ∈ R : (2x + 8)/(x^2 + 8x + 7) ≥ 0} y b. J = {x ∈ R : |x - 1| + |x - 2| > 1}. - Problema 2 (Control 1, 24-10-2016) · Funcions entre conjunts
Calcula el valor exacto de los siguientes límites: a. lim_{x->0} (cos x)^(1/x^2) y b. lim_{x->∞} (sqrt(x^2 + 1) - sqrt(x^2 - 4x)). - Problema 3 (Control 1, 24-10-2016) · Mètodes de demostració
Determina razonadamente el número exacto de soluciones reales que posee la ecuación log(x + 2) = x - 1 en el intervalo [0, ∞). - Problema 4 (Control 1, 24-10-2016) · Funcions entre conjunts
Determinar el área mínima del triángulo determinado por los semiejes positivos y rectas tangentes a la parábola y = 6 - x². - Problema 5 (Control 1, 24-10-2016) · Funcions entre conjunts
Efectúa el análisis detallado (dominio, asíntotas, monotonía, concavidad y extremos) y dibuja la gráfica de la función g(x) = e^(1/x). - Problema 1 (Control 2, 28-11-2016) · Funcions entre conjunts
Estudia analíticamente (dominio, cortes, asíntotas, monotonía, curvatura) y representa gráficamente la función f(x) = (x - 3) / sqrt(4x² - 1). - Problema 2 (Control 2, 28-11-2016) · Funcions entre conjunts
Calcula el valor del límite lim_{x->0} (tg x - sen x)/x^3 empleando necesariamente desarrollos de Taylor. - Problema 3 (Control 2, 28-11-2016) · El principi d'inducció
Calcula los límites de las sucesiones: a) lim_{n->infty} n / raíz n-ésima de n! y b) lim_{n->infty} (1 + 1/2 + ... + 1/n) / log(n^2). - Problema 4 (Control 2, 28-11-2016) · El principi d'inducció
Analiza razonadamente la convergencia y calcula el límite, en caso de existir, de la sucesión recurrente an = an-1^2 con a0 = 1/2. - Problema 5 (Control 2, 28-11-2016) · El principi d'inducció
Determina el carácter de convergencia (absoluta o condicional) de las siguientes series: a) sum_{n=1}^infty (1 + 1/n)^{n^2} 3^{-n}; b) sum_{n=1}^infty (-1)^n (arctg n)^2. - Problema 1 (Control 3, 19-12-2016) · El principi d'inducció
Halla el intervalo de convergencia de la serie de potencias sum_{n=1}^infty log(1 + 1/sqrt(n))(x - 2)^n y calcula la suma exacta de sum_{n=2}^infty (-1)^n 3^n / (2n + 1)!. - Problema 2 (Control 3, 19-12-2016) · Funcions entre conjunts
Calcula las primitivas de las siguientes funciones: a) int sen^2(x) cos^2(x) dx; b) int (e^(4x))/(e^(2x) + 2e^x + 2) dx. - Problema 3 (Control 3, 19-12-2016) · Mètodes de demostració
Calcula el valor exacto de la integral definida: int_1^2 (sqrt(x^2 - 1)/x) dx. - Problema 4 (Control 3, 19-12-2016) · Funcions entre conjunts
Calcula el área de la región comprendida entre la curva f(x) = e^x / (1 + e^x), su asíntota horizontal cuando x -> inf y el eje de ordenadas (x >= 0). - Problema 5 (Control 3, 19-12-2016) · Funcions entre conjunts
Calcula el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor del eje OX la región del plano delimitada por y = sen(x/2), y = x, x en [0, 2pi]. - Problema 1 (Control 3 variante, 19-12-2016) · El principi d'inducció
Determina el intervalo de convergencia y la función suma de la serie sum_{n=0}^infty (n+1)2^{-n}x^n. - Problema 2 (Control 3 variante, 19-12-2016) · Funcions entre conjunts
Halla las primitivas correspondientes a las siguientes funciones: a) int sen^2(x) cos^2(x) dx [1,5 puntos]; b) int e^(4x) / (e^(2x) + 2e^x + 2) dx [1,5 puntos]. - Problema 3 (Control 3 variante, 19-12-2016) · Mètodes de demostració
Calcula el valor exacto de la integral definida int_1^2 (sqrt(x^2-1)/x) dx. - Problema 4 (Control 3 variante, 19-12-2016) · Funcions entre conjunts
Calcula el volumen obtenido al revolucionar alrededor del eje OX la región acotada por y=sen(x/2), y=x, x en [0, 2pi]. - Problema 5 (Control 3 variante, 19-12-2016) · Funcions entre conjunts
Sin resolver la integral, calcula la recta tangente a la gráfica de la función y(x) = \int_{x^2}^x e^{t^2} dt en el punto de abscisa x = 1. - Problema 1 (Control 2, 29-11-2016) · Mètodes de demostració
Calcula el siguiente límite haciendo uso del Teorema de Taylor: \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(2x) - 6x^2 - 2xe^{-3x}}{x^3} - Problema 2 (Control 2, 29-11-2016) · El principi d'inducció
Determina el valor de los límites: a) lim_{n->inf} n(sqrt(n^2-1) - n), b) lim_{n->inf} ((n^2+1)/(n^2-3n))^((n^2-1)/(2n)) - Problema 3 (Control 2, 29-11-2016) · El principi d'inducció
Calcula el valor exacto de: a) lim_{n->inf} (sum_{k=1}^n k^2 sen(1/k)) / n^2, b) lim_{n->inf} n / (n!)^(1/n) - Problema 4 (Control 2, 29-11-2016) · El principi d'inducció
Considera la sucesión a_{n+1} = 2 + sqrt(4 + a_n) con a_0 = 0. Calcula lim_{n->inf} a_n justificando con el diagrama de la telaraña. - Problema 5 (Control 2, 29-11-2016) · El principi d'inducció
Determina si las series convergen de manera absoluta, condicional o si divergen: a) sum (n!)^2 / (2n)!, b) sum (-1)^n (sqrt(n+1) - sqrt(n))
También puedes estudiar por temas
Practica un tema con ejercicios de los exámenes de todos los años, mezclados.
- Funcions entre conjunts · 214 problemas · 95 % de que salga
- El principi d'inducció · 58 problemas · 95 % de que salga
- Mètodes de demostració · 48 problemas · 95 % de que salga
- Conjunts i demostracions amb conjunts · 8 problemas · 95 % de que salga