Examen de Fonaments Matemàtics UPC 2016 · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 2) - Part 1

Problema 1 (4 Feb 2004). Función periódica y límite de incrementos (2 puntos)

a)

[1 punto] Considérese una función continua $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ periódica con periodo $T$. Verifique que la función

$$F(x) = \int_{x}^{x+T} f(t)\,dt$$

toma un valor constante con independencia de $x$.

b)

[1 punto] Sea $f$ diferenciable en $\mathbb{R}$ con $\lim_{x\to\infty} f'(x) = 0$ y fijado $c \in \mathbb{R}$. Justifique si existe y determine el valor de:

$$\lim_{x\to\infty} [f(x+c) - f(x)].$$

Problema 2 (4 Feb 2004). Orden de aproximación y cálculo de límite [2 puntos]

a)

Halle el valor de $a$ para el cual las curvas $f(x) = e^{x/2}$ y $g(x) = \sqrt{\frac{a+x}{a-x}}$ difieren en el entorno de $x = 0$ con un error de orden estrictamente superior o igual a $x^3$.

b)

Mediante desarrollos de Maclaurin, obtenga:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x - \operatorname{sen} x}{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}$$

Problema 3 (4 Feb 2004). Raíces de una función definida por integral (2 puntos)

Dada la función $F(x) = \int_{0}^{x} \alpha t \ln |t|\, dt$ con $\alpha \neq 0$, precise para qué valores de $\alpha$ se garantiza la existencia de al menos una raíz en el intervalo cerrado $[1, e]$.

Problema 4 (4 Feb 2004). Área entre la curva y su asíntota (2 puntos)

Determine el área de la región comprendida entre la curva $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}$ y su asíntota horizontal.

Problema 5 (4 Feb 2004). Polinomio de Taylor y estimación de error (2 puntos)

Sea $F(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\, dt$. Se pide:

a.

Obtener el polinomio de Taylor de tercer grado en $x = 0$ de $F(x)$, denotado por $P_{3,0,F}(x)$.

b.

Aproximar $F(1/10)$ empleando el polinomio anterior y acotar el error cometido.

Problema 1 (8 Sep 2004). Integral de la función inversa y sobreyectividad (2 puntos)

a.

(1 punto) Siendo $f$ estrictamente monótona creciente en $[a, b]$ ($0 < a < b$) tal que $f(a) = 1$, $f(b) = 4$ y $\int_{a}^{b} f(x)\, dx = 5$, determine el valor de:$$\int_{1}^{4} f^{-1}(y)\, dy.$$

b.

(1 punto) Razone si es posible definir una aplicación sobreyectiva y continua $f: [-2, 2] \to (-2, 2)$.

Sí

No

Problema 2 (8 Sep 2004). Límite indeterminado (2 puntos)

Calcule:$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^4} - e^{\operatorname{sen} x}}{x^4 - \operatorname{sen} x}$$

Problema 3 (8 Sep 2004). Extremos de función integral (2 puntos)

Localice y clasifique los extremos relativos de:$$f(x) = \int_0^{x^5} \frac{dt}{5 + \cos^4 t}, \quad x \in [0, \infty).$$

Calcule la longitud de la cardioide definida en coordenadas polares por $r(\theta) = a(1 + \cos\theta)$ con $\theta \in [0, 2\pi]$ y $a > 0$.

Dada la función $F(x) = \int_0^1 s^k \operatorname{sen}(sx)\,ds$ con $k > 0$ y $x \ge 0$:

a)

[0,5 puntos] Demuestre que si $x > 0$,$$F(x) = \frac{1}{x^{k+1}} \int_0^x t^k \operatorname{sen} t\,dt.$$Escriba el cambio de variable $t(s)$ utilizado para transformar la integral:

b)

[0,75 puntos] Halle la derivada por la derecha $F'(0^+)$ y verifique que $F$ es derivable en $[0, \infty)$.

c)

[0,75 puntos] Justifique que satisface la relación diferencial:$$xF'(x) + (k+1)F(x) = \operatorname{sen} x, \quad \forall x \in [0, \infty).$$

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Ejercicio 1 (Hoja 3). Expresión racional y serie alternada

a.

Escriba el número periódico $0.121212\dots$ mediante una serie y halle su forma irreducible como fracción.

b.

Determine el carácter de convergencia (absoluta o condicional) de:

$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(\log n)^n}$$

a)

Determine el intervalo de convergencia de:$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^n n!}{(2n)!} x^n.$$

b)

Halle el valor de la suma de la serie numérica:$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n (2n)!}.$$

Ejercicio 3 (Hoja 3). Límite con regla de L'Hôpital e integrales

Calcule:$$\lim_{x \to 0^+} \frac{2 \int_0^{\sqrt{x}} \frac{\operatorname{sen} t^2}{t}\, dt - x}{x^3}$$

Ejercicio 4 (Hoja 3). Integrales trigonométricas, racionales y por partes

Halle las siguientes primitivas:

a)

$\int \operatorname{sen}^4 x \, dx$

b)

$\int \frac{3}{x^2 - 2x + 2} \, dx$

c)

$\int \sqrt{\sqrt{x} + 1} \, dx$

d)

$\int x^2 \log x \, dx$

Calcule la superficie encerrada entre la curva $f(x) = \frac{x^2+3}{x^2+4}$ y su asíntota horizontal.

Realice la representación gráfica completa de la función $f(x) = \frac{x^{2/3}}{x+1}$.

a)

Determine el dominio, asíntotas y puntos singulares/extremos de la función.

b)

Representación gráfica de la función:

a)

[1 punto] Analice la convergencia de la sucesión recurrente definida por:$$u_{n+1} = 2 - \frac{u_n}{3}, \quad u_0 = 1.$$

b)

[1 punto] Determine el carácter de la serie:$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \log(1 + 1/\sqrt{n}).$$

a)

[0,8 puntos] Obtenga la serie de Taylor de $f(t) = \frac{e^{t^2}-1}{t}$ y determine su intervalo de convergencia.

b)

[0,7 puntos] Deduzca el desarrollo en serie de Taylor de:$$g(x) = \int_0^{\sqrt{x}} \frac{e^{t^2}-1}{t}\,dt.$$

c)

[1 punto] Calcule el límite:$$\lim_{x \to 0^+} \frac{2g(x) - x}{x^2}.$$

Problema 4 (Final 15 Ene 2016). Integral trigonométrica y volumen de revolución (2,5 puntos)

a)

(1,5 puntos) Calcule:

$$\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$$

b)

(1 punto) Calcule el volumen de revolución generado al rotar la elipse $\frac{x^2}{4} + 9y^2 \le 1$ alrededor del eje de abscisas $X$.

Represente gráficamente la función $$f(x) = \frac{\sqrt{|x-1|}}{x+1}$$ prescindiendo del cálculo de la segunda derivada.

a)

Calcule el límite de la sucesión definida por recurrencia: $$a_{n+1} = \sqrt{1 + a_n}, \quad a_0 = 0.$$

b)

Obtenga el valor del límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(2x) \int_x^{x^2} \frac{\operatorname{sen} t}{t}\, dt}{x^2}.$$

Problema 3 (Final 13 Ene 2017). Intervalo de convergencia y suma de serie (2 puntos)

a.

(1 punto) Obtenga el intervalo de convergencia de:$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n^2 + 1}}{n\sqrt{n^3 + 1}} (x - 2)^n.$$

b.

(1 punto) Calcule la suma de la serie:$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-4)^n}{(2n + 1)!}.$$

Calcule: $$\int_e^{e^2} \frac{e^{3x} + 2e^x}{e^{2x} - 4e^x + 5}\, dx.$$

Calcule el volumen del sólido generado al revolucionar alrededor del eje vertical $Y$ la región:$$\{0 \le x \le 1,\quad \operatorname{arctg} x \le y \le \pi/4\}.$$

Dibuje la gráfica de la función periódica $f(x) = \frac{1}{1+\operatorname{tg} x}$ indicando sus asíntotas, monotonía y puntos de inflexión.

Problema 2 (Extraord. 15 Jun 2017). Límite tipo exponencial y sucesión recurrente (2,5 puntos)

a.

(1 punto) Calcule $\lim_{x\to\pi/2} (\operatorname{sen} x)^{\sec^2 x}$.

b.

(1,5 puntos) Obtenga el límite de la sucesión recurrente $x_{n+1} = \beta + \frac{x_n^2}{2}$ con $x_0 = 3/2$ en los casos $\beta = 1/8$ y $\beta = 5/8$.

a.

(1 punto) Estudie la convergencia condicional y absoluta de:$$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n n}{1+n^2}$$

b.

(1 punto) Halle el intervalo de convergencia y la suma de:$$\sum_{n=1}^\infty (1-3x)^n$$

a)

Calcule el área delimitada por $f(x) = \frac{1}{1+\operatorname{tg} x}$ y el eje horizontal para $x \in [0, \pi/4]$.

b)

Calcule el volumen generado al girar en torno al eje horizontal la región acotada en el primer cuadrante por $y = \log(1+x)$, $y = 1 - \log(1+x)$ y $x = 0$.

Problema 1 (Control 1, 27 Oct 2015). Inecuaciones y valor absoluto (2 puntos)

Determine explícitamente los conjuntos de la recta real:

a.

$D = \left\{x \in \mathbb{R}: \frac{2x+8}{x^2+8x+7} \ge 0\right\}$

b.

$E = \{x \in \mathbb{R}: |x^2 - 4| < 2\}$

Problema 2 (Control 1, 27 Oct 2015). Límites indeterminados (2 puntos)

Calcule los límites:

a.

$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{2x+7}{2x-6}\right)^{\sqrt{4x^2+x-3}}$$

b.

$$\lim_{x \to \infty} x^2 \left(e^{3/x} - e^{1/x} - \frac{2}{x}\right)$$

Problema 3. Estudie la continuidad y la derivabilidad en toda la recta real de la función $f(x) = |x^3(x + 4)|$.

1.

Continuidad en $\mathbb{R}$: ¿Es la función continua en todo $\mathbb{R}$?

Sí

No

2.

Derivabilidad en los puntos conflictivos $x = 0$ y $x = -4$:

Sí

No

Sí

No

Problema 4. Halle los puntos de la curva $y = 4 - x^2$ que se encuentran a distancia mínima del punto $(0, 2)$.

a)

b)

Punto 1:

Punto 2:

Problema 5. Represente la gráfica de una de las siguientes dos funciones:

a. $f(x) = \frac{2x^2 - 2x - 4}{x - 3}$

b. $g(x) = \frac{e^x}{x - 1}$

Responda al estudio analítico de los elementos clave de ambas funciones y suba el dibujo de la gráfica seleccionada.

a)

Para $f(x) = \frac{2x^2 - 2x - 4}{x - 3}$:

b)

Para $g(x) = \frac{e^x}{x - 1}$:

Ejercicio 1. Calcule los siguientes límites en caso de existir:

a.

$$\lim_{x \to \pi/2} (\operatorname{sen} x)^{3 / \cos^2 x}$$

b.

$$\lim_{t \to 0} \frac{1 - 2e^{1/t}}{3 + 4e^{1/t}}$$

Sí

No

Demuestre que la ecuación $2x + \operatorname{sen}(\pi x/2) = \frac{10}{1+\sqrt{x}}$ posee una única solución en $[0, \infty)$ y halle un intervalo de enteros consecutivos $[n, n + 1]$ que la contenga.

a)

b)

Sea $f$ diferenciable con $f(1/2) = -3$ y $f'(x) = \sqrt{x^2 + 2}$. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $g(x) = x^2 f\left(\frac{x-1}{x}\right)$ en el punto de abscisa $x = 2$.

Determine el menor valor de $\alpha$ para el cual la función $f(x) = |\alpha x^2 - 2\alpha x + 3|$ resulta derivable en todo $\mathbb{R}$.

De entre todos los sectores circulares de perímetro fijado en $60\text{ cm}$, halle el radio y el ángulo central que maximizan su área.

a)

b)

Ejercicio 1 (Hoja 2). Criterio de Stolz para límites

Calcule los límites de las sucesiones:

a.

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}}{\log n}$$

b.

$$\lim_{n \to \infty} \left(\cos \frac{b}{n} + a \operatorname{sen} \frac{b}{n}\right)^n$$

Ejercicio 2 (Hoja 2). Criterio de Stolz y raíz n-ésima

a.

Para una sucesión de términos positivos con $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \ell$, obtenga aplicando Stolz:$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n^2]{\frac{a_n^n}{a_1 a_2 \cdots a_n}}$$

b.

Compruebe el resultado calculando el límite directamente para $a_n = 2^n$.

Ejercicio 3 (Hoja 2). Modelo poblacional y diagrama de telaraña

La población de una especie evoluciona según $p_{n+1} = \frac{b p_n}{a + p_n}$. Mediante un diagrama de telaraña, determine la población de equilibrio para una población inicial $p_1 = 1500$ en los casos:

a.

$a = 3000$, $b = 5000$.

b.

$a = 3000$, $b = 2000$.

Ejercicio 4 (Hoja 2). Sucesión recurrente y límite

Dada la recurrencia $a_{n+1} = \frac{1}{1 + 12a_n}$ con $a_0 = 0$:

a.

Determine mediante análisis de punto fijo y gráfico de telaraña si converge y obtenga su límite.

b.

Calcule $\lim_{n \to \infty} \frac{4a_{n+1} - 1}{4a_n - 1}$.

Problema 1 (Control 3b, 21 Dic 2015). Serie alternada y suma (2 puntos)

a.

Estudie la convergencia absoluta y condicional de:$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \sqrt{\log(1+1/n)}.$$

b.

Halle la suma de la serie:$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n 9^{n+1}}{(2n)!}.$$

Problema 2 (Control 3b, 21 Dic 2015). Integral definida irracional (2 puntos)

Calcule la integral:$$\int_0^{1/2}\frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$$

Problema 3 (Control 3b, 21 Dic 2015). Límite indeterminado con integral (2 puntos)

Obtenga el límite:$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^{x^3} \frac{\operatorname{sen} t}{t} \, dt}{1 - \cos(x^{3/2})}$$

Problema 4 (Control 3b, 21 Dic 2015). Área entre curva y asíntota (2 puntos)

Calcule el área comprendida entre $g(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ y su asíntota horizontal para $x \ge 0$.

Problema 5 (Control 3b, 21 Dic 2015). Volumen de revolución (2 puntos)

Halle el volumen engendrado al girar sobre el eje $X$ la superficie:$$C = \{0 \le x \le 3, \, 0 \le y \le x/3\} \cup \{3 \le x \le 4, \, 0 \le y \le \sqrt{1 - (x-3)^2}\}.$$

a.

Estudie la convergencia (absoluta y condicional) de:

$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (\log(1 + 1/n))^2$$

b.

Calcule la suma de la serie:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 9^n}{(2n + 1)!}$$

Calcule una de las dos integrales (puede resolver ambas para practicar):

a)

$$\int_0^{\log 2} \sqrt{e^x - 1}\,dx$$

b)

$$\int_0^{\sqrt{2}/2} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$$

Calcule uno de los siguientes límites:

a.

$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^{x^2} e^{t^2}\,dt - x^2}{x^6}$$

b.

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^x \frac{\operatorname{sen} t}{t}\,dt}{1 - \cos(\sqrt{x})}$$

Problema 4 (Control 3, 17 Dic 2015). Áreas de regiones no acotadas

Calcule el área entre la curva y su asíntota para uno de los siguientes casos:

a.

$f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 4}$ en todo $\mathbb{R}$.

b.

$g(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-x}}$ para $x \ge 0$.

Calcula el volumen del cuerpo obtenido al hacer girar sobre el eje de abscisas la región acotada por las curvas $y = 1 - \log(1 + x)$ e $y = \log(1 + x)$ entre $x = 0$ y el punto de intersección de ambas curvas.

Determina y describe de forma explícita como intervalos o unión de intervalos los siguientes subconjuntos de números reales:

a)

$D = \left\{x \in \mathbb{R}: \frac{2x+8}{x^2+8x+7} \ge 0\right\}$

b)

$E = \left\{x \in \mathbb{R}: |x^2 - 4| < 2\right\}$

Obtén el valor de los siguientes límites:

a)

$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{2x+7}{2x-6}\right)^{\sqrt{4x^2+x}-3}$

b)

$\lim_{x \to \infty} x^2 \left(e^{3/x} - e^{1/x} - \frac{2}{x}\right)$

Problema 3 (Control 1, 25-10-2016). Continuidad y derivabilidad con valor absoluto (2 puntos)

Analiza de forma razonada la continuidad y la derivabilidad en todo su dominio de la función:

$$f(x) = |x^3(x + 4)|$$

Problema 4 (Control 1, 25-10-2016). Optimización de distancia a parábola

[2 puntos]

Encuentra los puntos pertenecientes a la parábola $y = 4 - x^2$ que se encuentran a distancia mínima del punto $(0, 2)$.

Problema 5 (Control 1, 25-10-2016). Representación gráfica de funciones (2 puntos)

Realiza el estudio completo (dominio, asíntotas, monotonía, extremos relativos y curvatura) y esboza la gráfica de una de las siguientes dos funciones:

a.

$f(x) = \frac{2x^2 - 2x - 4}{x - 3}$

b.

$g(x) = \frac{e^x}{x - 1}$

Problema 1 (Control 1, 24-10-2016). Determinación de dominios e inecuaciones (2 puntos)

Identifica y expresa como unión de intervalos los conjuntos definidos por:

a.

$D = \left\{x \in \mathbb{R}: \frac{2x + 8}{x^2 + 8x + 7} \ge 0\right\}$

b.

$J = \{x \in \mathbb{R}: |x - 1| + |x - 2| > 1\}$

Problema 2 (Control 1, 24-10-2016). Límites trigonométricos e irracionales (2 puntos)

Calcula el valor exacto de los siguientes límites:

a.

$\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$

b.

$\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2 - 4x}\right)$

Problema 3 (Control 1, 24-10-2016). Número de raíces reales (2 puntos)

Determina razonadamente el número exacto de soluciones reales que posee la ecuación $\log(x + 2) = x - 1$ en el intervalo $[0, \infty)$.

Determina el área mínima del triángulo que determinan con los semiejes coordenados positivos las rectas tangentes a la parábola $y = 6 - x^2$.

Efectúa el análisis detallado y dibuja la gráfica de la función $g(x) = e^{1/x}$.

Estudia analíticamente y representa de forma gráfica la siguiente función:$$f(x) = \frac{x - 3}{\sqrt{4x^2 - 1}}$$

Calcula el valor del siguiente límite empleando necesariamente desarrollos de Taylor:$$\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{sen} x}{x^3}$$

Calcula los límites de las siguientes sucesiones:

a)

b)

Problema 4 (Control 2, 28-11-2016). Convergencia de sucesión recurrente (1,5 puntos)

Analiza razonadamente la convergencia y calcula el límite, en caso de existir, de la sucesión definida por recurrencia:

$$a_n = a_{n-1}^2, \quad a_0 = 1/2$$

Problema 5 (Control 2, 28-11-2016). Carácter de series numéricas [2,5 puntos]

Determina el carácter de convergencia (absoluta o condicional) de las siguientes series:

a)

$\sum_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2} 3^{-n}$ [1,3 puntos]

b)

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n (\operatorname{arctg} n)^2$ [1,2 puntos]

Problema 1 (Control 3, 19-12-2016)

a)

Halla el intervalo de convergencia de la serie de potencias:

$$\sum_{n=1}^\infty \log(1 + 1/\sqrt{n})(x - 2)^n$$

b)

Calcula la suma exacta de la serie numérica:

$$\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n 3^n}{(2n + 1)!}$$

Problema 2 (Control 3, 19-12-2016). Primitivas inmediatas y racionales

Calcula las primitivas de las siguientes funciones:

a.

$$\int \operatorname{sen}^2 x \cos^2 x \, dx$$

b.

$$\int \frac{e^{4x}}{e^{2x} + 2e^x + 2} \, dx$$

Calcula el valor exacto de la integral definida:$$\int_1^2 \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\,dx$$

Calcula el área de la región comprendida entre la curva $f(x) = \frac{e^x}{1+e^x}$, su asíntota horizontal cuando $x \to \infty$ y el eje de ordenadas ($x \ge 0$).

Calcula el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor del eje $OX$ la región del plano delimitada por las curvas:$$y = \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right), \quad y = x, \quad x \in [0, 2\pi]$$

Determina el intervalo de convergencia y la función suma de la serie:$$\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)2^{-n}x^n$$

a)

b)

Problema 2 (Control 3 variante, 19-12-2016). Cálculo de primitivas (3 puntos)

Halla las primitivas correspondientes a las siguientes funciones:

a.

$$\int \operatorname{sen}^2 x \cos^2 x \, dx$$ [1,5 puntos]

b.

$$\int \frac{e^{4x}}{e^{2x} + 2e^x + 2} \, dx$$ [1,5 puntos]

Calcula el valor exacto de:$$\int_1^2 \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} \, dx$$

Calcula el volumen obtenido al revolucionar alrededor del eje $OX$ la región acotada por:$$y = \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right), \quad y = x, \quad x \in [0, 2\pi]$$

Sin resolver la integral, calcula la recta tangente a la gráfica de la función:

$$y(x) = \int_{x^2}^x e^{t^2}\,dt$$

en el punto de abscisa $x = 1$.

Calcula el siguiente límite haciendo uso del Teorema de Taylor:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(2x) - 6x^2 - 2xe^{-3x}}{x^3}$$

Problema 2 (Control 2, 29-11-2016). Límites de sucesiones reales (2 puntos)

Determina el valor de los límites siguientes:

a.

$\lim_{n\to\infty} n (\sqrt{n^2 - 1} - n)$

b.

$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n^2+1}{n^2-3n}\right)^{\frac{n^2-1}{2n}}$

Problema 3 (Control 2, 29-11-2016). Límites mediante Stolz y Stirling (2 puntos)

Calcula el valor exacto de los siguientes límites:

a.

$\lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n k^2 \operatorname{sen}(1/k)}{n^2}$

b.

$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$

Problema 4 (Control 2, 29-11-2016). Sucesión recurrente y método de la telaraña (2 puntos)

Considera la sucesión definida de forma recurrente mediante:$$a_{n+1} = 2 + \sqrt{4 + a_n}, \quad a_0 = 0$$Calcula $\lim_{n\to\infty} a_n$ justificando el resultado con ayuda del diagrama de la telaraña.

1.

2.

Problema 5 (Control 2, 29-11-2016). Convergencia condicional y absoluta de series (2 puntos)

Determina si las siguientes series convergen de manera absoluta, condicional o si divergen:

a.

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!}$

b.

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$