Ejercicio 2 (Hoja 1) · Fonaments Matemàtics UPC 2016

halle un intervalo de enteros consecutivos $[n, n + 1]$ que la contenga

Solución: 2

Demuestre que la ecuación posee una única solución en $[0, \infty)$

Solución: Sea $f(x) = 2x + \operatorname{sen}(\pi x/2) - \frac{10}{1+\sqrt{x}}$. Su derivada es: $$f'(x) = 2 + \frac{\pi}{2}\cos(\pi x/2) + \frac{5}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2} \ge 2 - \frac{\pi}{2} > 0$$ siendo estrictamente creciente y por tanto inyectiva. Por Bolzano en $[2,3]$ existe raíz, y por inyectividad es única.