Problema 3 (Final 13 Ene 2017) · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Tema: El principi d'inducció · Del examen Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 2) - Part 1 (2016)

Enunciado

Problema 3 (Final 13 Ene 2017). Intervalo de convergencia y suma de serie (2 puntos)

a.

(1 punto) Obtenga el intervalo de convergencia de:∑n=1∞n2+1nn3+1(x−2)n.\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n^2 + 1}}{n\sqrt{n^3 + 1}} (x - 2)^n.

b.

(1 punto) Calcule la suma de la serie:∑n=1∞(−4)n(2n+1)!.\sum_{n=1}^\infty \frac{(-4)^n}{(2n + 1)!}.

Enunciado: Problema 3 (Final 13 Ene 2017) · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. (1 punto) Obtenga el intervalo de convergencia de: ∑n=1∞n2+1nn3+1(x−2)n\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n^2 + 1}}{n\sqrt{n^3 + 1}} (x - 2)^n.

Solución: [1,3][1, 3]

b. (1 punto) Calcule la suma de la serie: ∑n=1∞(−4)n(2n+1)!\sum_{n=1}^\infty \frac{(-4)^n}{(2n + 1)!}.

Solución: sen⁡(2)2−1\frac{\operatorname{sen}(2)}{2} - 1 / −1+sen⁡(2)2-1 + \frac{\operatorname{sen}(2)}{2} / sen⁡(2)−22\frac{\operatorname{sen}(2) - 2}{2}

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