Problema 61 · Fonaments Matemàtics UPC 2016

a) Enuncie con precisión el Teorema Fundamental del Cálculo.

Solución: Si $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ es integrable, entonces $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ es continua en $[a,b]$. Si $f$ es continua en $c \in (a,b)$, entonces $F$ es derivable en $c$ y $F'(c) = f(c)$.

b) Discuta la continuidad y la derivabilidad en $x = 1$ de la función: $F(x) = \int_0^x f(t)\,dt$

Solución: Continua: Sí. Derivable: No.

b) Justificación de la continuidad y derivabilidad en $x = 1$

Solución: $F$ es continua porque $f$ es integrable/acotada. $F$ no es derivable porque $\lim_{t \to 1^-} f(t) = e \neq 1/e = \lim_{t \to 1^+} f(t)$.

c) Calcule la integral indefinida: $\int \frac{2x + 1}{(x^2 - 2x + 5)^2}\,dx$

Solución: $-\frac{1}{x^2 - 2x + 5} + \frac{3(x-1)}{8(x^2 - 2x + 5)} + \frac{3}{16}\arctan\left(\frac{x-1}{2}\right) + C$ / $\frac{3x - 11}{8(x^2 - 2x + 5)} + \frac{3}{16}\arctan\left(\frac{x-1}{2}\right) + C$