Problema 2 (Extraord. 15 Jun 2017) · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Tema: El principi d'inducció · Del examen Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 2) - Part 1 (2016)

Enunciado

Problema 2 (Extraord. 15 Jun 2017). Límite tipo exponencial y sucesión recurrente (2,5 puntos)

a.

(1 punto) Calcule lim⁡x→π/2(sen⁡x)sec⁡2x\lim_{x\to\pi/2} (\operatorname{sen} x)^{\sec^2 x}.

b.

(1,5 puntos) Obtenga el límite de la sucesión recurrente xn+1=β+xn22x_{n+1} = \beta + \frac{x_n^2}{2} con x0=3/2x_0 = 3/2 en los casos β=1/8\beta = 1/8 y β=5/8\beta = 5/8.

Enunciado: Problema 2 (Extraord. 15 Jun 2017) · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. (1 punto) Calcule lim⁡x→π/2(sen⁡x)sec⁡2x\lim_{x\to\pi/2} (\operatorname{sen} x)^{\sec^2 x}.

Solución: e−1/2e^{-1/2} / 1/e1/\sqrt{e}

b. Límite para β=1/8\beta = 1/8 de xn+1=β+xn22x_{n+1} = \beta + \frac{x_n^2}{2} con x0=3/2x_0 = 3/2.

Solución: 1−321 - \frac{\sqrt{3}}{2} / 2−32\frac{2 - \sqrt{3}}{2}

b. Límite para β=5/8\beta = 5/8 de xn+1=β+xn22x_{n+1} = \beta + \frac{x_n^2}{2} con x0=3/2x_0 = 3/2.

Solución: +∞+\infty / diverge

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