Problema 73 · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Convergencia de la integral impropia (indique si converge o diverge)

Solución: Convergente / Converge

Estudio y justificación detallada (comportamiento en el origen y en el infinito)

Solución: La función es par y no negativa para todo $x \neq 0$. Por simetría: $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1 - \cos x}{x^2} dx = 2 \int_0^{\infty} \frac{1 - \cos x}{x^2} dx = 2 \left( \int_0^1 \frac{1 - \cos x}{x^2} dx + \int_1^{\infty} \frac{1 - \cos x}{x^2} dx \right)$$ - En $x = 0$: Como $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$, se tiene $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$. La discontinuidad es evitable, por lo que la integral en $[0, 1]$ es propia y convergente. - En el infinito ($[1, \infty)$): Dado que $0 \leq 1 - \cos x \leq 2$, acotamos el integrando por: $$0 \leq \frac{1 - \cos x}{x^2} \leq \frac{2}{x^2}$$ Como $\int_1^{\infty} \frac{2}{x^2} dx$ converge ($p = 2 > 1$), por el criterio de comparación ordinario la integral converge en el infinito. Por tanto, la integral impropia dada es convergente (su valor exacto es $\pi$).