Problema 63 · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Enunciar el teorema de Taylor con resto de Lagrange.

Solución: Si $f$ tiene derivadas continuas hasta orden $n$ en $[a, b]$ y derivable $n+1$ veces en $(a, b)$, entonces para cada $x \in [a, b]$ existe $\xi$ estrictamente entre $x_0$ y $x$ tal que $f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1}$.

Escribir el polinomio de Taylor de grado dos de $F(x)$ centrado en $x = 1$.

Solución: (x - 1) + (1/6)*(x - 1)^2

Calcular el valor aproximado de $F(5/4)$ usando dicho polinomio.

Solución: 25/96

Proporcionar una cota superior del error cometido en la aproximación (sin necesidad de operar la expresión final).

Solución: e^((5/4)^(1/3)-1)/(54*64)