Examen de Fonaments Matemàtics UPC 2016 · Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 1)

Control II 2016 - Problema 1 (2 puntos)

Efectuar el estudio y representar gráficamente la función:$$f(x) = \frac{x - 3}{\sqrt{4x^2 - 1}}$$

1.

2.

Control II 2016 - Problema 2 (1,5 puntos)

Hallar el límite aplicando los desarrollos de Taylor (la resolución por otro método se valorará sobre 1 punto):$$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x - \operatorname{sen} x}{x^3}$$

Control II 2016 - Problema 3 (2,5 puntos)

Calcular los siguientes límites:

a)

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$$

b)

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}}{\log(n^2)}$$

Control II 2016 - Problema 4 (1,5 puntos). Sucesión definida por recurrencia

Analizar la convergencia y determinar el valor del límite, en caso de que exista, de la sucesión dada recursivamente por:

$$a_n = a_{n-1}^2, \quad a_0 = 1/2$$

a)

b)

Control II 2016 - Problema 5 (2,5 puntos). Carácter de series numéricas

Determinar la convergencia (absoluta y condicional, según corresponda) de las siguientes series:

a)

$$\sum_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n^2} 3^{-n}$$

b)

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n (\operatorname{arctg} n)^2$$

Control III 2016 - Problema 1 (2 puntos). Serie de potencias

Calcular el radio e intervalo de convergencia y obtener la suma de la serie de potencias:

$$\sum_{n=0}^\infty (n + 1) 2^{-n} x^n$$

a)

b)

c)

Control III 2016 - Problema 2 (3 puntos). Primitivas

Hallar las siguientes primitivas:

a.

$$\int \operatorname{sen}^2 x \cos^2 x \, dx$$

b.

$$\int \frac{e^{4x}}{e^{2x} + 2e^x + 2} \, dx$$

Control III 2016 - Problema 3 (1,5 puntos). Integral definida

Calcular el valor de la integral definida:

$$\int_1^2 \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\,dx$$

Control III 2016 - Problema 4 (2 puntos). Volumen de revolución

Calcular el volumen del cuerpo obtenido al rotar alrededor del eje $X$ la región delimitada por las curvas:$$y = \operatorname{sen}\frac{x}{2}, \quad y = x, \quad x \in [0, 2\pi]$$

Control III 2016 - Problema 5 (1,5 puntos). Recta tangente a una función integral

Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva (sin calcular la integral explícitamente):

$$y(x) = \int_{x^2}^{x} e^{t^2} dt$$

en el punto de abscisa $x = 1$.

Considerar la función definida por:

$$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \in (-\infty, -1] \\ [x + 1], & x \in (-1, 1) \\ \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}x\right), & x \in [1, \infty) \end{cases}$$

donde $[\cdot]$ denota la función parte entera. Hallar el dominio de definición, el dominio de continuidad y el dominio de derivabilidad.

1.

2.

3.

Calcular los siguientes límites:

a.

$$\lim_{x\to 0} (\cos x)^{\frac{1}{1-\cosh x}}$$

b.

$$\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{arcsen} x}{\log(\sqrt{1+x})}$$

Hallar las dimensiones de una caja rectangular abierta de $64\text{ cm}^3$ y base cuadrada, para que resulte lo más económica posible. Téngase en cuenta que el coste del material empleado en la base es de $25$ céntimos por $\text{cm}^2$ y el de las caras laterales es de $50$ céntimos por $\text{cm}^2$. ¿Cuál es el coste total mínimo de la caja en euros?

a)

b)

c)

Dada la función:

$$g(x) = \begin{cases} (x + 1)^2, & x \in (-\infty, -1] \\ \operatorname{sgn}(x) + 1, & x \in (-1, 1) \\ 2x, & x \in [1, \infty) \end{cases}$$

Determinar el dominio de definición, el de continuidad y el de derivabilidad.

1.

2.

3.

Control I 2011 Círculo - Problema 2 (1 punto). Límites trigonométricos y ciclométricos

Calcular los siguientes límites:

a.

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (\tan x)^{\frac{1}{4x - \pi}}$$

b.

$$\lim_{x \to 0} \frac{\log(\sqrt[3]{1+x})}{\frac{\pi}{2} - \arccos x}$$

Hallar las dimensiones de una caja cilíndrica abierta (sin tapa superior) de volumen $64\text{ cm}^3$ para que su coste sea mínimo. El coste del material es de 25 céntimos por $\text{cm}^2$ para la base y de 50 céntimos por $\text{cm}^2$ para la superficie lateral. ¿Cuál es el coste total mínimo en euros?

a)

b)

c)

Dada la función:

$$h(x) = \begin{cases} \operatorname{sen}(\pi x), & x \in (-\infty, -1) \\ |x| - x, & x \in [-1, 1) \\ (x - 1)^3, & x \in [1, \infty) \end{cases}$$

Determinar su dominio de definición, su dominio de continuidad y su dominio de derivabilidad.

a)

b)

c)

Calcular los siguientes límites:

a)

$$\lim_{x \to 0} (1 + \operatorname{senh} x)^{\frac{1}{\operatorname{sen} x}}$$

b)

$$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{arctg} x - x}{\log(x^2 + 1)}$$

Hallar las dimensiones de una caja en forma de prisma triangular regular (cuya base es un triángulo equilátero) abierto (sin tapa) de $64\text{ cm}^3$ de capacidad, para que su coste sea mínimo. El coste del material empleado en la base es de 20 céntimos por $\text{cm}^2$ y el de las caras laterales es de 10 céntimos por $\text{cm}^2$. ¿Cuál es el coste total en euros?

a)

b)

c)

Control 1 Modelo A - Problema 1 [2,5 puntos]. Continuidad y parámetro

Encontrar el valor de la constante $a$ para que la siguiente función sea continua en todo $\mathbb{R}$:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{4\operatorname{sen} x}{x}, & x < 0 \\[2ex] a - 2x, & x \ge 0 \end{cases}$$

$a =$

Control 1 Modelo A - Problema 2 (2,5 puntos). Demostración épsilon-delta de límite

Dada la función $f(x) = 2x - 1$:

a.

Calcula el límite $L = \lim_{x \to 3} f(x)$.

b.

Encuentra un valor de $\delta$ tal que $|f(x) - L| < 0.01$ siempre que $0 < |x - 3| < \delta$.

c.

Escribe una expresión que proporcione $\delta$ en función de $\varepsilon$ para asegurar que $|f(x) - L| < \varepsilon$ cuando $0 < |x - 3| < \delta$.

Control 1 Modelo A - Problema 3 (2,5 puntos). Recta tangente por derivación implícita

Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva $x^{2/3} + y^{2/3} = 5$ en el punto $(8, 1)$.

Control 1 Modelo A - Problema 4 (2,5 puntos). Polinomio de Taylor

Dada la función $f(x) = e^{-2x}$, calcular el polinomio de Taylor de $f$ de grado 3 centrado en $c = 0$.

Control 1 Modelo B - Problema 1 (2,5 puntos). Parámetro de continuidad trigonométrico

Encontrar el valor de $a$ para que la siguiente función sea continua en todo $\mathbb{R}$:$$f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos x}{x^2}, & x < 0 \\ a + x^2, & x \ge 0 \end{cases}$$

Control 1 Modelo B - Problema 2 (2,5 puntos). Demostración épsilon-delta

Dada la función $f(x) = 3x + 1$:

a.

Calcula $L = \lim_{x\to 3} f(x)$.

b.

Encuentra $\delta$ tal que $|f(x) - L| < 0.05$ siempre que $0 < |x - 3| < \delta$.

c.

Escribe una fórmula que dé $\delta$ en función de $\varepsilon$ tal que $0 < |x - 3| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon$.

Control 1 Modelo B - Problema 3 (2,5 puntos). Tangente a curva implícita

Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva $y^2(x + y^2) = 2x^2$ en el punto $(1, 1)$.

Control 1 Modelo B - Problema 4 (2,5 puntos). Polinomio de Taylor de orden 2

Dada la función $f(x) = \sqrt{x + 1}$, calcular el polinomio de Taylor de $f$ de grado 2 centrado en $c = 0$.

Control 1 Modelo C - Problema 1 (2,5 puntos). Continuidad y asíntota evitable

Determinar el valor del parámetro real $a$ para que la siguiente función sea continua en todo $\mathbb{R}$:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - a^2}{x - a}, & x \neq a \\ 3, & x = a \end{cases}$$

Control 1 Modelo C - Problema 2 (2,5 puntos). Límite formal épsilon-delta

Dada la función $f(x) = \frac{1}{4}x + 2$:

a.

Calcula el límite $L = \lim_{x \to -4} f(x)$.

b.

Encuentra un valor de $\delta$ tal que $|f(x) - L| < 0.01$ siempre que $0 < |x + 4| < \delta$.

c.

Halla una fórmula para $\delta(\varepsilon)$ que garantice que $|f(x) - L| < \varepsilon$ siempre que $0 < |x + 4| < \delta$.

Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva $(4 - x)y^2 = x^3$ en el punto $(2,2)$.

Dada la función $f(x) = \frac{1}{x^2}$, calcular el polinomio de Taylor de grado 2 centrado en $c = 1$.

Determinar el conjunto $E$ de los números reales $x \in \mathbb{R}$ que satisfacen la condición:$$H = \left\{x \in \mathbb{R}: \frac{2x + 8}{x^2 + 8x + 7} > 0\right\}$$

Control 1 2010 - Problema 2 (4 puntos). Cálculo de límites

Calcular los siguientes límites:

a.

$\ell_1 = \lim_{x \to 1/2} (2x^2 + 3x - 2) \tan(\pi x)$

b.

$\ell_2 = \lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} - \sqrt{x^2 - 4x}\right)$

Control 1 2010 - Problema 3 (4 puntos). Puntos de inflexión y rectas tangentes

Se considera la función $f(x) = \log(1 + x^2)$. Calcular la ecuación de la recta tangente en sus puntos de inflexión y bosquejar la gráfica de $f$ y de estas rectas.

a)

Abscisas de los puntos de inflexión:

b)

Ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos de inflexión:

c)

Bosquejo de la gráfica de $f$ y de las rectas tangentes:

35 Mayo 2009 - Problema 1. Continuidad y cálculo diferencial multivariable

Se considera la función en el plano:

$$f(x,y) = \begin{cases} \frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$$

a.

Estudiar las propiedades de continuidad de $f$ en todo el plano.

b.

Calcular las derivadas parciales de $f(x,y)$ en el origen $(0,0)$, si existen.

c.

Determinar el gradiente de la función $g(x,y,z) = \log(e^x + e^y + e^z)$ y calcular su derivada direccional a lo largo del vector unitario $\mathbf{v} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$.

36 Mayo 2009 - Problema 2. Extremos absolutos con multiplicadores de Lagrange

Se considera la función $f(x, y) = x^2 + 4y^2 - 2x - 4y$ sobre la región del plano $R = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + 4y^2 \le 4\}$.

a.

Representar la región $R$ e identificar su frontera.

b.

Hallar, si es posible, los extremos absolutos de $f(x, y)$ en la región $R$.

$($

$,$

$)$

$($

$,$

$)$

37 Mayo 2009 - Problema 3. Integral doble en coordenadas polares

Sea $D$ la región del semiplano superior comprendida en el segundo cuadrante entre las circunferencias concéntricas $x^2 + y^2 = 4$ y $x^2 + y^2 = 9$:

a.

Definir los límites de la región $D$ en coordenadas polares:

$\le r \le$

$\le \theta \le$

b.

Calcular la integral doble para $a > 0$:

$$\iint_D \frac{x^2 e^{-a(x^2+y^2)}}{x^2+y^2} \, dx \, dy$$

Mayo 2009 - Problema 4. Integral triple en un tetraedro

Considerar el sólido acotado en el primer octante por los planos coordenados y el plano $x + y + z = 1$:

a.

Describir la región de integración:

b.

Calcular la integral triple:

$$\int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} \frac{dz\,dy\,dx}{(x+y+z+1)^3}$$

Mayo 2009 - Problema 5. Teorema de la divergencia de Gauss

Sea el campo vectorial $\mathbf{F}(x, y, z) = (zx, zy, x^2 y^2)$. Calcular el flujo $\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$ a través de la superficie cerrada $S = S_1 \cup S_2$ orientada hacia el exterior,

donde:

$\begin{aligned}

S_1 &= \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3: z = 4 - 2(x^2 + y^2), \; 0 \le z \le 4\right\} \\[2mm]

S_2 &= \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3: z = -4 + 2(x^2 + y^2), \; -4 \le z \le 0\right\}

\end{aligned}$

Resolver mediante la transformada de Laplace el siguiente problema de valor inicial:

$$\begin{cases} y'(t) - y(t) = 2(e^t \cos(2t) - e^{-t}) \\ y(0) = 1 \end{cases}$$

Determine y exprese en forma de intervalos los siguientes subconjuntos de números reales:

a.

$D = \left\{x \in \mathbb{R}: \frac{2x+8}{x^2+8x+7} \ge 0\right\}$

b.

$E = \left\{x \in \mathbb{R}: |x^2 - 4| < 2\right\}$

Calcule los siguientes límites de funciones:

a.

$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{2x+7}{2x-6}\right)^{\sqrt{4x^2+x-3}}$

b.

$\lim_{x \to \infty} x^2 \left(e^{3/x} - e^{1/x} - \frac{2}{x}\right)$

Considere la función real $f(x) = |x^3(x+4)|$.

a.

Analice razonadamente su continuidad y determine su derivabilidad en todo su dominio.

b.

Calcule los valores máximo y mínimo absolutos de $f$ en el intervalo cerrado $[-5, 1]$.

Control 1 (2014) - Problema 4: Distancia mínima a una curva

Encuentre los puntos de la curva parabólica $y = 4 - x^2$ que se encuentran a una distancia mínima del punto $(0, 2)$.

$($

$,$

$)$

$($

$,$

$)$

Control 1 (2014) - Problema 5: Estudio y representación gráfica

Efectúe el estudio detallado (dominio, asíntotas, monotonía, extremos relativos y curvatura) y dibuje la gráfica de las siguientes funciones:

a)

$$f(x) = \frac{2x^2 - 2x - 4}{x - 3}$$

b)

$$g(x) = \frac{e^x}{x - 1}$$

Control III (2014/15) - Ejercicio 1 (0,25 puntos): Primitiva trigonométrica

Halle la siguiente integral indefinida:

$$\int \operatorname{sen}^2(3x)\,dx$$

$$\int \operatorname{sen}^2(3x)\,dx =$$

Control III (2014/15) - Ejercicio 2 (0,25 puntos): Primitiva hiperbólica por partes

Calcule la primitiva:

$$\int (x^2 + 1)\cosh(2x)\,dx$$

Control III (2014/15) - Ejercicio 3 (0,25 puntos): Primitiva racional

Calcule la primitiva de la función racional:

$$\int \frac{x - 1}{x^2 + x - 20}\,dx$$

Control III (2014/15) - Ejercicio 4 (0,25 puntos): Primitiva irracional

Halle el resultado de la siguiente integral indefinida:

$$\int \frac{x + 3 + \sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}\, dx$$

Control II³ (2015/16) - Problema 1 (0,5 puntos): Taylor y estimación de error

Aproxime el valor de la función $f(x) = \sqrt[3]{x + 27}$ en el punto $x = \frac{1}{3}$ empleando el polinomio de Taylor de grado 2 centrado en el origen. Estime además una cota superior del error cometido en dicha aproximación.

a)

b)

Control II³ (2015/16) - Problema 2 (1 punto): Cálculo de integrales indefinidas

Calcule las primitivas siguientes:

a)

$$\int (1-x)(\cos x + \cosh x)\,dx$$

b)

$$\int \frac{1-x}{(x^2 - 5x + 6)(x - 2)}\,dx$$

Control II³ (2015/16) - Problema 3 (0,5 puntos): Optimización del vallado

Se desea cercar un terreno de forma rectangular con un área total de $400\text{ m}^2$. Dos lados opuestos llevarán una cerca que cuesta $1\text{ euro por metro}$, mientras que los otros dos lados opuestos emplearán una valla cuyo coste es de $2\text{ euros por metro}$. Determine las longitudes de los lados para que el coste total del cercado sea mínimo.

Obtenga una aproximación del valor de la función $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{(x+8)^2}}$ en el punto $x = \frac{1}{10}$ mediante el polinomio de Taylor de grado 2 centrado en el origen. Estime una cota del error cometido.

a)

b)

Control II⁴ (2015/16) - Problema 2 (1 punto): Integrales indefinidas

Calcule las siguientes integrales:

a.

$$\int (2x+1)\ln(x^2+x)\,dx$$

b.

$$\int \frac{1-x}{(x+1)(x^2+1)}\,dx$$

Un productor de pintura puede generar un volumen diario de entre 10 y 30 metros cúbicos. El beneficio obtenido (en cientos de euros) se rige por la función:

$$B(x) = \frac{(x-15)^3}{1000} - \frac{3(x-15)}{10} + 300$$

donde $x$ denota la producción diaria en $\text{m}^3$. Halle el volumen de producción que maximiza el beneficio.

a)

[1,5 puntos] Demuestre el siguiente resultado de punto fijo: «Sea $f: [0, 1] \to [0, 1]$ una función continua. Entonces existe al menos un valor $c \in [0, 1]$ tal que $f(c) = c$.»

b)

[1,5 puntos] Calcule el límite:

$$\lim_{x\to\infty} x\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x - e\right]$$

Diciembre 2000 - Problema 2 (3 puntos): Función integral y Taylor

Dada la función $F(x) = \int_1^x e^{\sqrt{t}-1}\,dt$, se pide:

&bull;

(1 punto) Escribir el polinomio de Taylor de grado dos de $F(x)$ en el punto $x = 1$.

&bull;

(1 punto) Calcular un valor numérico aproximado de $F(5/4)$.

&bull;

(1 punto) Calcular una cota superior del error cometido en dicha aproximación.

Diciembre 2000 - Problema 3 (4 puntos): Primitiva y representación gráfica

a)

(3 puntos) Calcule la integral indefinida:

$$\int \frac{3x - 4}{(x^2 + 2x + 4)^2}\, dx$$

b)

(1 punto) Esboce la gráfica de la función $f(x) = \frac{x}{\ln x}$.

Febrero 2001 - Problema 1 (3 puntos): Límite con parámetro y curva polar

a)

[2 puntos] Calcule el valor del parámetro real $\alpha$ para el cual el límite$$\lim_{x \to \infty} x^{\alpha} (\sqrt[4]{x+1} - \sqrt[4]{x})$$es finito y distinto de cero, y halle dicho valor límite.

b)

[1 punto] Esboce la gráfica de la curva en coordenadas polares dada por:$$r = 1 - \operatorname{sen}\theta, \quad \theta \in [0, 2\pi]$$

Febrero 2001 - Problema 2 (3 puntos): Polinomio de Taylor y cota de error

a)

[1 punto] Calcule el polinomio de Taylor de grado 3 en el origen para la función $f(x) = \ln(1 + \operatorname{sen} x)$.

b)

[2 puntos] Estime el error cometido al aproximar la función por el polinomio de Taylor de grado 2 en el punto $x = 0{,}1$.

Febrero 2001 - Problema 3 (4 puntos): Teorema fundamental, continuidad e integral

a)

[1 punto] Enuncie con precisión el Teorema Fundamental del Cálculo.

b)

[1 punto] Discuta la continuidad y la derivabilidad en $x = 1$ de la función:$$F(x) = \int_0^x f(t)\,dt, \quad \text{donde } f(t) = \begin{cases} e^{-t^2}, & \text{si } t > 1 \\ e^{t^2}, & \text{si } t \le 1 \end{cases}$$

Sí

No

Sí

No

c)

[2 puntos] Calcule la integral indefinida:$$\int \frac{2x + 1}{(x^2 - 2x + 5)^2}\,dx$$

Septiembre 2001 - Problema 1 (3 puntos): Límites y dominio

a)

[1 punto] Calcule:$$\lim_{x \to \infty} [\sqrt{(x+a)(x+b)} - x]$$

b)

[1 punto] Determine el dominio de la función $f(x) = \operatorname{arcsen}(1 - x^2)$.

c)

[1 punto] Sabiendo que $f$ es derivable en $x = 0$ con $f(0) = 0$, calcule:$$\lim_{x \to 0^+} f(x)\ln x$$

Dada la función $F(x) = \int_{1}^{x} e^{\sqrt[3]{t}-1} \, dt$, se pide:

a)

Enunciar el teorema de Taylor con resto de Lagrange.

b)

Escribir el polinomio de Taylor de grado dos de $F(x)$ centrado en $x = 1$.

c)

Calcular el valor aproximado de $F(5/4)$ usando dicho polinomio.

d)

Proporcionar una cota superior del error cometido en la aproximación (sin necesidad de operar la expresión final).

Septiembre 2001 - Problema 3: Integral y longitud de arco polar

a)

Calcule la integral indefinida: $$\int \frac{\cos x}{3 + \cos^2 x}\, dx$$

b)

Calcule la longitud del tramo de curva dada en polares por $r = 3\sec\theta$ para $0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}$.

Febrero 2002 - Problema 1: Continuidad y diferenciabilidad

Analice la continuidad y la derivabilidad en el punto $x = 0$ de la función: $$f(x) = \begin{cases} (\operatorname{sen} x)^x, & \text{si } x > 0 \\ 1, & \text{si } x \le 0 \end{cases}$$

a)

¿Es $f$ continua en $x = 0$?

Sí

No

b)

¿Es $f$ derivable en $x = 0$?

Sí

No

Febrero 2002 - Problema 2: Teorema de Rolle y raíces reales

a)

Enuncie con precisión el Teorema de Rolle.

b)

Determine el número exacto de soluciones reales que posee la ecuación $x^3 + x^2 + x + 5 = 0$, aportando una cota o aproximación numérica de cada una.

Febrero 2002 - Problema 3: Taylor de función integral

Dada la función $F(x) = \int_0^x e^{t^2}\cos t\, dt$, determine:

a)

El polinomio de Taylor de grado 5 de $F(x)$ centrado en $x = 0$.

b)

El error cometido al estimar $F(0{,}1) \approx 0{,}1$.

Febrero 2002 - Problema 4 (3 puntos): Integral racional y área bajo la curva

a)

(2 puntos) Calcule:

$$\int \frac{3x + 2}{x^4 + 2x^2 + 1}\,dx$$

b)

(1 punto) Calcule el área delimitada entre la gráfica de $f(x) = (x^2 - 1)\cos x$ y el eje de abscisas en el intervalo $[0, \pi/2]$.

Enero 2003 - Problema 1 (2 puntos): Límites indeterminados

a)

[1 punto] Si $f$ es una función arbitraria definida en un entorno perforado del origen, calcule:

$$\lim_{x \to 0} \sqrt[5]{x} \cos(f(x))$$

b)

[1 punto] Calcule el valor del límite:

$$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\sqrt{x^2+5}} - 1}{x}$$

Enero 2003 - Problema 2 (2 puntos): Teorema del valor medio y tangentes

a)

[1 punto] Enuncie y demuestre el Teorema del Valor Medio de Lagrange, aportando su correspondiente interpretación geométrica.

b)

[1 punto] Encuentre un punto sobre el arco de la parábola $y = x^2$ comprendido entre los puntos $A(1, 1)$ y $B(3, 9)$ en el cual la recta tangente sea paralela a la cuerda que une dichos puntos.

Enero 2003 - Problema 3 (2 puntos): Polinomio de Taylor y límite

Dada la función $f(x) = \dfrac{\ln(\cos x)}{1 - x^3}$:

a.

(1 punto) Calcule los cinco primeros términos de su polinomio de Taylor en torno al origen, $P_5(x)$.

b.

(1 punto) Calcule el límite:

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - P_5(x)}{x^6}$$

Enero 2003 - Problema 4 (2 puntos): Integral trigonométrica

Calcule la integral indefinida:

$$\int \frac{dx}{3 + 5\cos x}$$

Enero 2003 - Problema 5 (2 puntos): Convergencia de integral impropia

Estudie la convergencia de la integral impropia:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1 - \cos x}{x^2} dx$$

Septiembre 2003 - Problema 1 (2 puntos): Límites en el infinito

Calcule, si existen, los siguientes límites:

a)

(1 punto) $\lim_{x\to -\infty} \left[ x^2 \arctan\left(\frac{1}{x}\right) - \ln(1 + x^2) \right]$

b)

(1 punto) $\lim_{x\to -\infty} \left(\frac{2x+7}{2x-6}\right)^{\sqrt{4x^2+x-3}}$

Septiembre 2003 - Problema 2 [2 puntos]

Determine si la función

$$g(x) = |x - 1| \int_{-1}^{x} \operatorname{sen}(t^3)\,dt$$

es derivable en el punto $x = 1$ y, en caso afirmativo, halle el valor de $g'(1)$.

a)

¿Es derivable $g(x)$ en $x = 1$?

Sí

No

b)

Calcule aproximadamente el valor de $g(0)$ para la función $g(x) = |x - 1| \int_{-1}^{x} \operatorname{sen}(t^3)\,dt$, con un error menor que $10^{-3}$.

Esboce la gráfica de la cardioide definida en coordenadas polares por $r(\theta) = a(1 + \cos\theta)$ con $\theta \in [0, 2\pi]$ y $a > 0$, y calcule su longitud total.

a)

b)

Encuentre todos los valores del parámetro real $a \in \mathbb{R}$ para los cuales la integral impropia$$\int_0^\infty (x + \operatorname{sen}\sqrt{x})^a\,dx$$es convergente.