Problema 70 · Fonaments Matemàtics UPC 2016

a. (1 punto) Enuncie y demuestre el Teorema del Valor Medio de Lagrange, aportando su correspondiente interpretación geométrica.

Solución: Enunciado: Si $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, entonces existe $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Demostración: Se considera la función $g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x - a)$. Se verifica que $g$ es continua en $[a, b]$, derivable en $(a, b)$ y $g(a) = g(b) = 0$. Por el Teorema de Rolle, existe $c \in (a, b)$ con $g'(c) = 0$, lo que demuestra la fórmula. Interpretación geométrica: Existe al menos un punto intermedio de la curva en el que la recta tangente es paralela a la recta secante que une los extremos $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$.

b. Abscisa x del punto sobre la parábola y = x^2:

Solución: 2

b. Ordenada y del punto sobre la parábola y = x^2:

Solución: 4