Problema 21 · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Tema: Mètodes de demostració · Del examen Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 1) (2016)

Enunciado

Control 1 Modelo A - Problema 2 (2,5 puntos). Demostración épsilon-delta de límite

Dada la función f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1:

a.

Calcula el límite L=lim⁡x→3f(x)L = \lim_{x \to 3} f(x).

b.

Encuentra un valor de δ\delta tal que ∣f(x)−L∣<0.01|f(x) - L| < 0.01 siempre que 0<∣x−3∣<δ0 < |x - 3| < \delta.

c.

Escribe una expresión que proporcione δ\delta en función de ε\varepsilon para asegurar que ∣f(x)−L∣<ε|f(x) - L| < \varepsilon cuando 0<∣x−3∣<δ0 < |x - 3| < \delta.

Enunciado: Problema 21 · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Calcula el límite L=lim⁡x→3f(x)L = \lim_{x\to 3} f(x).

Solución: 5

b. Encuentra un valor de δ\delta tal que ∣f(x)−L∣<0.01|f(x) - L| < 0.01 siempre que 0<∣x−3∣<δ0 < |x - 3| < \delta.

Solución: 0.005 / 0,005 / 0.01/2 / 1/200

c. Escribe una expresión que proporcione δ\delta en función de ε\varepsilon para asegurar que ∣f(x)−L∣<ε|f(x) - L| < \varepsilon cuando 0<∣x−3∣<δ0 < |x - 3| < \delta.

Solución: \varepsilon / 2 / \varepsilon/2 / 0.5\varepsilon / epsilon / 2 / epsilon/2

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