Problema 66 · Fonaments Matemàtics UPC 2016

a. (1 punto) Enuncie con precisión el Teorema de Rolle.

Solución: Si una función real $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$, derivable en el intervalo abierto $(a, b)$ y satisface $f(a) = f(b)$, entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = 0$.

b. Número exacto de soluciones reales:

Solución: 1

b. Cota o aproximación numérica de la raíz:

Solución: (-2, -1) / (-2, -1.5) / -1.8

b. Justificación detallada:

Solución: P'(x) = 3x^2 + 2x + 1 > 0 (discriminante negativo). Monótona creciente estricta implica a lo sumo una raíz. Por Bolzano en [-2, -1], P(-2) = -1 < 0 y P(-1) = 4 > 0, existe exactamente una raíz real en (-2, -1).