Problema 4 (Control 2, 29-11-2016) · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Tema: El principi d'inducció · Del examen Col·lecció d'Exàmens Resolts de Càlcul (Volum 2) - Part 1 (2016)

Enunciado

Problema 4 (Control 2, 29-11-2016). Sucesión recurrente y método de la telaraña (2 puntos)

Considera la sucesión definida de forma recurrente mediante:an+1=2+4+an,a0=0a_{n+1} = 2 + \sqrt{4 + a_n}, \quad a_0 = 0Calcula lim⁡n→∞an\lim_{n\to\infty} a_n justificando el resultado con ayuda del diagrama de la telaraña.

1.

2.

Enunciado: Problema 4 (Control 2, 29-11-2016) · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Calcula lim⁡n→∞an\lim_{n\to\infty} a_n

Solución: 5

Justificando el resultado con ayuda del diagrama de la telaraña

Solución: La función f(x) = 2 + sqrt(4+x) es estrictamente creciente con f'(x) > 0. Al ser a_1 = 4 > a_0 = 0, la sucesión es creciente. Resolviendo f(x)=x se obtiene el punto fijo x=5 (x=0 se descarta al verificar). Está acotada superiormente por 5, por lo que converge a 5.

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