Problema 4 (Control 2, 28-11-2016) · Fonaments Matemàtics UPC 2016

Analiza razonadamente la convergencia de la sucesión definida por recurrencia: $a_n = a_{n-1}^2, \quad a_0 = 1/2$

Solución: Calculamos los primeros términos: $a_0 = 1/2$, $a_1 = (1/2)^2 = 1/4 < a_0$. Demostramos por inducción que es estrictamente decreciente: - Base: $a_1 < a_0$. - Paso inductivo: Si $a_k < a_{k-1}$, elevando al cuadrado (ambos son positivos) se tiene $a_{k+1} = a_k^2 < a_{k-1}^2 = a_k$. Demostramos que está acotada inferiormente por 0: dado que $a_0 > 0$ y $a_{n+1} = a_n^2 \ge 0$ para todo $n$, $a_n > 0$ para todo $n$. Al ser monótona decreciente y acotada inferiormente, el teorema de la convergencia monótona garantiza que existe $\ell = \lim_{n\to\infty} a_n$.

Calcula el límite, en caso de existir, de la sucesión definida por recurrencia: $a_n = a_{n-1}^2, \quad a_0 = 1/2$

Solución: 0