Exámenes de Matemàtiques Ii UPF 2012
El examen de Matemàtiques Ii de la UPF (Grado en Administración y Dirección de Empresas) de 2012 (Recull d'exàmens resolts de Matemàtiques II (Part 1: 2012-2019)), con 145 problemas resueltos. Entran temas como Rectes i plans a l'espai y Funcions de diverses variables: domini i corbes de nivell. Practícalos con corrección al momento, pistas en cada apartado y la solución paso a paso.
Recull d'exàmens resolts de Matemàtiques II (Part 1: 2012-2019) (2012)
Temas del examen: Rectes i plans a l'espai · Funcions de diverses variables: domini i corbes de nivell · Gradient, derivades direccionals i pla tangent · Regla de la cadena i derivació implícita · Funcions homogènies i teorema d'Euler · Formes quadràtiques i classificació amb restriccions lineals · Convexitat i concavitat de funcions · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació · Òptims globals en conjunts compactes · Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange · Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat
- Problema 1 · Funcions homogènies i teorema d'Euler
Es considera una funció f(x, y) homogènia de grau 2. El punt (1, 3) pertany a la corba de nivell 5 de f i f'_x(1, 3) = 2 f'_y(1, 3). Calculeu el gradient de f en el punt (1, 3). - Problema 2 · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Determinar en quins punts (a, b) l'aproximació lineal de f(x, y) = x*e^(y/x) és f(x, y) ≈ x + y, i avaluar aproximadament f(a+0.2, b-0.1). - Problema 3 · Regla de la cadena i derivació implícita
Demostrar que per a qualsevol a ≠ 0, el gradient de G(x, y) = f(e^(x^2 + y^3)) en el punt (a^2, a) és perpendicular a (3, -2). - Problema 4 · Òptims globals en conjunts compactes
Trobar els extrems absoluts (màxims i mínims globals) de f(x, y) = x + y^2 sobre el recinte compacte S = {x >= 0, x^2 + y^2 <= 1}. - Problema 5 · Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange
Minimitzar C(x, y) = a*x^2 + 2*b*y^2 sotmesa a a*x + b*y = K, sabent que un increment de 0.1 en producció incrementa el cost en 2 unitats aproximadament. - Problema 6 · Rectes i plans a l'espai
Es considera el pla π d'equació 2x + y - z = 6. a) Trobeu l'equació vectorial de la recta r perpendicular a π que talla aquest pla en un punt de la forma (1, 1, k). Calculeu també el valor de k. b)… - Ejercicio 7 - Regla de la cadena i derivació implícita · Regla de la cadena i derivació implícita
Determinar l'equació de la recta tangent a la corba 9xy - x^3 - y^3 = 0 en el punt amb x = 2 i el valor de y més gran possible, verificant que y = (4/5)x + 12/5. - Ejercicio 7 - Funcions de diverses variables: domini i corb… · Funcions de diverses variables: domini i corbes de nivell
Calcular i descriure el domini de f(x, y) = sqrt(9xy - x^3 - y^3) + ln(y - x) + ln(x) i determinar per a quins valors de k el domini de g(x, y) amb el terme afegit sqrt(y - 4/5 x - k) és buit. - Problema 8 · Convexitat i concavitat de funcions
Per a f(x, y) = x^3 + y^3 - axy amb a > 0: trobar el domini convex maximal d'estricta convexitat i determinar i classificar els punts crítics en aquest domini. - Problema 9 · Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat
Problema de programació lineal de benefici amb Fair Play financer. a) Formular el problema primal amb paràmetres alfa, beta, K. b) Amb alfa=1/2 i beta=2, determinar vèrtexs de la regió factible i… - Problema 10 · Funcions de diverses variables: domini i corbes de nivell
Trobar i representar de manera raonada el domini de la funció f(x, y) = sqrt(y - 1/x) - 1 / ln((x-4)^2 + (y-4)^2 - 1). - Problema 11 · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Determinar el valor de k perquè el pla x + z = 6 sigui tangent a la superfície z = x^3 - 3x^2 + 2xy - y^2 + k en un punt amb x > 0.5, i trobar el punt de tangència. - Problema 12 · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Donada la funció f(x, y) = e^(x + ln(y)), calcular el valor màxim que pot assolir la derivada direccional de f en el punt (0, 1) en la direcció d'un vector unitari (h, k). - Problema 13 · Formes quadràtiques i classificació amb restriccions lineals
Forma quadràtica P(L,K) = L^2 + K^2 - 6LK. a) Demostrar que pot prendre valors positius i negatius calculant els menors principals de la matriu associada. b) Sota la restricció de 6 treballadors per… - Problema 14 · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació
Se sap que la funció f(x, y) = x^4 + y^4 - kx^4y^4 té un punt crític en (1, 1). Trobeu el valor del paràmetre k i classifiqueu aquest punt (1, 1) com a extrem local. - Problema 15 · Rectes i plans a l'espai
Es consideren les rectes r que passa per (0,0,0) i (1,0,-1) i s donada per x = 1+z, y = -z. a) Demostreu que els vectors directors són perpendiculars. b) Determineu el pla pi_1 que conté r i… - Problema 16 · Funcions homogènies i teorema d'Euler
Es considera f(x, y) = (2x^a y^2 + y^b)/(x^2 y^2 + x^a y^b). Sabent que f és homogènia: a) Trobeu a i b. b) Grau d'homogeneïtat k de f. c) Per a g(x, y) = sqrt(f(x, y)), verifiqueu amb el teorema… - Ejercicio 17 - Funcions de diverses variables: domini i cor… · Funcions de diverses variables: domini i corbes de nivell
Representeu en el pla xy el conjunt definit per les restriccions x > 0, y > 0, x + y <= 6 i 3x^(1/3)y^(1/3) >= 3, i determineu si és compacte i/o convex. - Ejercicio 17 - Optimització amb restriccions d'igualtat: mè… · Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange
Exercici 17 (apartats b i c): Donada la funció de producció de Cobb-Douglas f(x, y) = 3x^(1/3)y^(1/3), amb demanda mínima 3 i pressupost x + y ≤ 6: b) Trobeu les quantitats de capital x* i treball y*… - Problema 18 · Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat
Problema de programació lineal en maquinària d'obres: calcular la combinació òptima de piconadores i asfaltadores, el valor de les variables duals i estimar la nova capacitat mitjançant anàlisi de… - Problema 19 · Rectes i plans a l'espai
Trobeu el valor de k perquè la recta r : {x = 0, y + z = 0} sigui perpendicular al pla π : kx + 3y - 3z + 5 = 0. - Problema 20 · Regla de la cadena i derivació implícita
Donada la funció F(x, y) = e^(y^2 - x), determineu les equacions de les rectes tangents a la corba de nivell 1 de F en tots els punts on x = 1. - Problema 21 · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Per a la funció Q(x, y) = 10x^(1/4)y^(3/4), calcular el diferencial dQ en (a, a) amb a > 0 i aproximar Q(16.1, 15.9). - Problema 22 · Funcions homogènies i teorema d'Euler
Sabent que f(x, y) = sqrt(x^3 + x^m * sqrt(y^5)) és homogènia, calculeu el valor del paràmetre m, el grau d'homogeneïtat k i el valor de l'expressió (2/3)(x f'_x + y f'_y). - Problema 23 · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Donada una funció diferenciable f(x, y), amb punts A(1,3), B(3,3), C(1,7) i D(6,15), la derivada direccional en A en la direcció de AB val 3 i en la de AC val 26. Trobeu la derivada direccional en A… - Ejercicio 24 - Optimització lliure: punts estacionaris i cl… · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació
Donada la funció f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x - 12y, calculeu les derivades parcials primeres i la matriu Hessiana, determineu i classifiqueu localment els punts estacionaris, i raoneu si els extrems… - Ejercicio 24 - Òptims globals en conjunts compactes · Òptims globals en conjunts compactes
Sigui S el triangle de vèrtexs (0,0), (2,0) i (2,4). Trobeu els valors màxim i mínim absoluts de la funció f(x,y) = x^3 + y^3 - 3x - 12y en el recinte S. - Ejercicio 25 - Funcions de diverses variables: domini i cor… · Funcions de diverses variables: domini i corbes de nivell
Considerant la funció f(x,y) = 1/(x^2 y^2), determinar el domini de definició i identificar a les corbes de nivell donades els valors z = 1, z = 2, z = 4, z = 9. - Ejercicio 25 - Optimització amb restriccions d'igualtat: mè… · Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange
Emprar el mètode dels multiplicadors de Lagrange per trobar els extrems de f(x,y)=1/(x^2 y^2) subjecta a x^2 + y^2 = 1, classificar-los gràficament i aproximar el canvi de valor òptim si la… - Problema 26 · Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat
Problema d'optimització lineal: formulació i resolució del problema dual, interpretació econòmica i preus ombra, estimació del nou òptim davant canvis en les restriccions i deducció de la solució… - Problema 27 · Rectes i plans a l'espai
Es considera la recta r que passa per (1,2,3) i (2,-1,4). a) Trobeu l'equació general de r expressada com a intersecció de dos plans. b) Determineu el pla pi per (1,1,1) perpendicular a r. c) Equació… - Ejercicio 28 - Òptims globals en conjunts compactes · Òptims globals en conjunts compactes
Sobre el recinte S format pel semicercle de radi 4: a) Trobeu els punts de màxim i mínim de f(x, y) = x - y sobre S mitjançant corbes de nivell. b) Justifiqueu si els extrems trobats són globals a S. - Ejercicio 28 - Funcions de diverses variables: domini i cor… · Funcions de diverses variables: domini i corbes de nivell
Escriviu l'expressió analítica d'una funció g(x, y) que tingui exactament per domini de definició el conjunt S (el semicercle de radi 4 limitat per la recta y = x al semiplà inferior). - Ejercicio 29 - Formes quadràtiques i classificació amb rest… · Formes quadràtiques i classificació amb restriccions lineals
Considera la funció quadràtica q(x,y)=2x^2-6xy+4y^2. a) Determina si és possible trobar punts tals que q(a,b)>0 i q(c,d)<0, donant un exemple si és afirmatiu. b) Troba els valors del paràmetre k… - Ejercicio 29 - Regla de la cadena i derivació implícita · Regla de la cadena i derivació implícita
A la corba de nivell -2 de q(x,y)=2x^2-6xy+4y^2, troba les equacions de les rectes tangents en els punts amb abscissa x=3. - Problema 30 · Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange
Funció Cobb-Douglas condicionada f(x,y) = x^(3/2)y subjecta a x + y = 15 i a x + y = c amb anàlisi de sensibilitat. - Problema 31 · Òptims globals en conjunts compactes
Maximització del benefici d'una empresa amb dos productes subjecta a restriccions de capacitat x + y <= 8 en el domini no negatiu. - Ejercicio 32 - Funcions homogènies i teorema d'Euler · Funcions homogènies i teorema d'Euler
Es considera la funció f(x, y) = ln(x/y). Determineu si és homogènia, de quin grau i justifiqueu la resposta. - Ejercicio 32 - Gradient, derivades direccionals i pla tange… · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Per a f(x,y) = ln(x/y): b) Trobeu el pla tangent a (a, a) amb a ≠ 0. c) Calculeu el gradient en un punt genèric (a, b). d) Trobeu els punts (a, b) on la derivada direccional segons el vector (1, -1)… - Problema 33 · Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat
Problema de programació lineal (primal amb 3 variables i 2 restriccions). Trobar el dual associat i resoldre'l gràficament (u*=5, v*=3, valor=8). Trobar el valor màxim de Z i el valor aproximat amb… - Problema 34 · Rectes i plans a l'espai
Donat el pla x + y + z - 1 = 0, trobar la recta perpendicular que passa per l'origen (x = y = z), el punt d'intersecció (1/3, 1/3, 1/3) i el pla paral·lel per l'origen (x + y + z = 0). - Problema 35 · Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange
Optimització amb restricció lineal de f(x,y)=x^2+y^2 sobre y - x = k mitjançant multiplicadors de Lagrange. Determinar l'extrem (mínim global a (-k/2, k/2)), representar les corbes de nivell i trobar… - Ejercicio 36 - Funcions homogènies i teorema d'Euler · Funcions homogènies i teorema d'Euler
Per a la funció f(x,y)=(x*y^a)/sqrt(x^b+y^2) homogènia de grau 0: trobeu a i b; i calculeu dy/dx en qualsevol punt d'una corba de nivell emprant el Teorema d'Euler. - Ejercicio 36 - Regla de la cadena i derivació implícita · Regla de la cadena i derivació implícita
Trobeu les equacions de les rectes tangents a la corba de nivell f(x,y) = 4/5 en els punts amb x = 2. - Ejercicio 37 - Gradient, derivades direccionals i pla tange… · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Calcula la derivada direccional de f(x,y)=y^3-3ye^x-e^{3x} en el punt (0,0) en la direcció del vector v=(-1,1). - Ejercicio 37 - Optimització lliure: punts estacionaris i cl… · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació
Trobeu i classifiqueu els punts estacionaris de f(x,y)=y^3-3ye^x-e^{3x} i analitzeu si té extrems globals a R^2. - Problema 38 · Òptims globals en conjunts compactes
Maximització de beneficis d'un monopoli amb dues demandes q1 = 12 - p1 i q2 = 9 - sqrt(p2) i cost total C(q1, q2) = 4q1q2 + 3 sobre el domini econòmic rectangular. - Ejercicio 39 - Funcions de diverses variables: domini i cor… · Funcions de diverses variables: domini i corbes de nivell
Caracterització analítica i gràfica del domini de f(x,y) = x + y - ln(x+y). - Ejercicio 39 - Gradient, derivades direccionals i pla tange… · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Donada la funció f(x, y) = x + y - ln(x + y), determineu l'equació del pla tangent en qualsevol punt (a, b) que verifiqui a + b = 1. - Ejercicio 39 - Convexitat i concavitat de funcions · Convexitat i concavitat de funcions
Es considera la funció f(x,y) = x + y - ln(x+y). Analitzeu la convexitat o concavitat de f en tot el seu domini. - Ejercicio 39 - Optimització lliure: punts estacionaris i cl… · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació
Donada la funció f(x, y) = x + y - ln(x + y), trobeu els punts estacionaris de la funció i discutiu raonadament l'existència de màxims i mínims globals. - Problema 40 · Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat
Problema de programació lineal min Z = 6x + 7y + 10z + 8t subjecte a -x + z + t >= 1, x + y + z >= 2, x,y,z,t >= 0. Formula el dual, resol-lo per via gràfica, calcula els preus ombra, estima el nou… - Problema 41 · Regla de la cadena i derivació implícita
Per a la funció z = 1/3 ln(x^2 y) amb x = e^(3t) i y = 1 + e^(-3t), trobar dz/dt en funció de t emprant la regla de la cadena i avaluar-la en t = 0. - Problema 42 · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Trobar el valor del paràmetre k per tal que el pla 7x + z - 3 = 0 sigui tangent a la gràfica de f(x, y) = xy - 3x^2 + 1/2 y^2 + k, i trobar el punt de tangència. - Problema 43 · Funcions homogènies i teorema d'Euler
Per a la funció f(x, y) = (x^7 + x y^b)/sqrt(x^a y^5), determinar a i b sabent que x f'_x + y f'_y = 2f, i calcular el grau d'homogeneïtat k si a = 0. - Problema 44 · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Considerant la funció z = f(x,y) = e^(x/y) i el punt x = e de la corba de nivell z = e, trobeu les direccions unitàries en què la derivada direccional val exactament 1. - Problema 45 · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació
Pregunta 5. Maximització del benefici d'un monopolista amb dos béns: q1 = 12 - p1, q2 = (28 - p2)/3 i costos C(q1, q2) = 2 q1 q2 + 15. Trobar la combinació de produccions que maximitza el benefici i… - Ejercicio 46 - Optimització lliure: punts estacionaris i cl… · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació
Pregunta 6a. Localitzar i classificar els punts estacionaris de f(x, y) = 3x^2 - 8xy + 5 a tot R^2. - Ejercicio 46 - Òptims globals en conjunts compactes · Òptims globals en conjunts compactes
Pregunta 6b. Trobar els extrems globals de la funció f(x, y) = 3x^2 - 8xy + 5 en el domini tancat i fitat D = {(x, y) en R^2: 0 <= x <= 9, 0 <= y <= sqrt(x)}. - Problema 47 · Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange
Optimització condicionada amb multiplicadors de Lagrange de la funció f(x, y) = x²/9 + y²/36 subjecta a xy = 8. Càlcul de punts estacionaris i valor òptim, anàlisi de sensibilitat del valor òptim… - Problema 48 · Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat
Problema de programació lineal sobre dualitat: formulació del problema primal a partir del dual, resolució gràfica del dual indicant l'òptim (u1*, u2*) i D*, i determinació de la solució òptima… - Problema 49 · Rectes i plans a l'espai
Es considera el pla π: 2x + 3z - 1 = 3 - y. a) Comproveu si el punt P(1, 0, 3) pertany a π. b) Escriviu l'equació vectorial de la recta r que passa per P i és perpendicular a π. c) Calculeu k per tal… - Problema 50 · Formes quadràtiques i classificació amb restriccions lineals
Pregunta 2 (10 punts). Classificació de formes quadràtiques amb restricció: Es considera f(x, y) = x^2 - xy + (1/4)y^2. a) Classifiqueu-la de manera raonada. b) Determineu una restricció lineal px +… - Problema 51 · Funcions homogènies i teorema d'Euler
Pregunta 3 (10 punts). Funcions homogènies i identitat d'Euler: Sigui f(x, y) = ((xy)^a)^(1/3) / (x^2 + y^2) * (1/x + 1/y). a) Demostreu que f és homogènia i determineu el grau d'homogeneïtat en… - Problema 52 · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Pregunta 4 (10 punts). Gradient i derivada direccional a corbes de nivell: Es considera f(x, y) = y - y*sqrt(x). a) Donat x = 4 a la corba de nivell de cota -2, determineu el vector unitari de màxim… - Ejercicio 53 - Optimització lliure: punts estacionaris i cl… · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació
Sigui la funció f(x, y) = -x^2 + y^2 + xy + x^3. Apartat a: Trobeu els punts estacionaris de f i feu-ne la classificació local. - Ejercicio 53 - Convexitat i concavitat de funcions · Convexitat i concavitat de funcions
Sigui la funció f(x, y) = -x^2 + y^2 + xy + x^3. Apartats b i c: Determineu el domini més ampli on la funció és còncava o convexa, i raoneu si en aquest domini presenta màxims o mínims globals. - Ejercicio 54 - Optimització lliure: punts estacionaris i cl… · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació
Trobeu els extrems globals de la funció quadràtica f(x, y) = 3x^2 + 2y^2 - 4y a tot R^2. - Ejercicio 54 - Òptims globals en conjunts compactes · Òptims globals en conjunts compactes
Determineu els extrems globals de la funció f(x, y) = 3x^2 + 2y^2 - 4y en la regió fitada D = {(x, y) en R^2 : y >= x^2, y <= 4}. - Problema 55 · Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange
Considereu tots els possibles rectangles de base x i altura y amb diagonal l > 0 fixada. Determineu les dimensions del rectangle que maximitza l'àrea superficial mitjançant multiplicadors de… - Problema 56 · Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat
Problema primal de programació lineal: formular i resoldre el dual geomètricament, trobar la solució primal mitjançant folgança complementària, i fer una anàlisi marginal de sensibilitat per a canvis… - Problema 57 · Funcions de diverses variables: domini i corbes de nivell
Donada la funció real de dues variables f(x,y) = (sqrt(9 - (x - 2)^2 - y^2) + sqrt((2 - x)(4 - x))) / (x^2 + y^2 - 1), trobeu de manera raonada el seu domini de definició i feu-ne una representació… - Problema 58 · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Sigui la funció f(x, y) = mxy + (1/2)x^2 - 2y^2. Trobeu els valors del paràmetre m en R pels quals el pla 10y + z - 5/2 = 0 és tangent a la gràfica de f(x, y) en un punt on z = -5/2. - Problema 59 · Formes quadràtiques i classificació amb restriccions lineals
Es considera la forma quadràtica f(x, y) = (k - 1)x^2 + 4xy + (k + 2)y^2. a) Determineu per a quins valors de k és definida negativa. b) Si y = -x, trobeu per a quins valors de k la forma quadràtica… - Ejercicio 60 - Gradient, derivades direccionals i pla tange… · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Considerant f(x,y) = 1/2 * 2^x * y^3 amb f(3,2) = 16: si y es manté constant en 2, quin increment aproximat dx ha d'experimentar x = 3 perquè el valor de la funció passi de 16 a 18? - Ejercicio 60 - Regla de la cadena i derivació implícita · Regla de la cadena i derivació implícita
Donada f(x,y) = 1/2 * 2^x * y^3, amb x = t^2 i y = t + 2, escriviu la fórmula de df/dt per la regla de la cadena i calculeu el valor numèric en t = 0. - Problema 61 · Funcions homogènies i teorema d'Euler
Sigui la funció de dues variables f(x, y) = x/y^a - (3x^2)/(bx^b + sqrt(x^3y + xy^3)). a) Trobeu per a quins valors de a, b en R la funció és homogènia i determineu el seu grau. b) Calculeu el… - Problema 62 · Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange
Es considera f(x, y) = 9 - x^2 - y^2 amb restricció -x^2 + y = -3. a) Determineu els punts candidats a extrems mitjançant multiplicadors de Lagrange. b) Classifiqueu els punts obtinguts mitjançant… - Problema 63 · Òptims globals en conjunts compactes
Sigui la funció f(x, y) = xy^2. a) Trobeu els màxims i mínims globals de f en el conjunt compacte S = {(x, y) in R^2 : x >= 0, y >= 0, x^2 + y^2 <= 1}. b) Determineu l'existència d'extrems absoluts… - Problema 64 · Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat
Problema primal: min g(u, v, w) = u + 2v + 3w subjecte a u + w >= -1, 1 - w <= v, u, v, w >= 0. a) Formuleu i resoleu geomètricament el dual associat. b) Determineu el valor mínim global de g(u, v,… - Problema 65 · Rectes i plans a l'espai
Considerem el pla Ax + 3y + Cz = D i la recta (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(1, -1, 0). Determineu els valors dels paràmetres per a la perpendicularitat i pel cas en què no tenen cap punt en comú. - Problema 66 · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Donada la funció f(x, y) = x^2 + y^2 + 4xy i el pla tangent 2x - 2y + cz + 10 = 0 (c != 0), trobeu c i el punt de tangència. - Problema 67 · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Per a f(x, y) = 2x^3 - 3x^2 - 6xy - 3y^2, localitzeu els punts a la corba de nivell cota -12 on el màxim creixement té direcció (1, 1), i calculeu el valor màxim de les derivades direccionals en… - Problema 68 · Regla de la cadena i derivació implícita
Donada la lemniscata de Gerono x^4 = a^2(x^2 - y^2), troba els punts amb recta tangent horitzontal (paral·lela a y = 1) i amb recta tangent vertical (paral·lela a x = 0). - Problema 69 · Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange
Considerem la funció f(x, y) = 1/(x^2 y) sotmesa a la condició x + y = 3. a. Trobeu els punts crítics mitjançant el mètode dels multiplicadors de Lagrange. b. Classifiqueu localment els punts… - Problema 70 · Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange
La funció f(x, y) = x^2 y^2 amb restricció g(x,y) = -1 té extrem a (-1/4, 1/4) amb lambda = -1/64. Calculeu de forma aproximada el nou valor òptim si la restricció s'altera a g(x,y) = 1 citant el… - Ejercicio 71 - Òptims globals en conjunts compactes · Òptims globals en conjunts compactes
Determineu els màxims i mínims absoluts del camp escalar f(x,y)=x^2-xy+y^2 en el triangle de vèrtexs (1, 0), (-1, -1) i (1, -1). - Ejercicio 71 - Formes quadràtiques i classificació amb rest… · Formes quadràtiques i classificació amb restriccions lineals
Decidiu de manera raonada si existeix algun punt (x0, y0) en R2 tal que f(x0, y0) < 0 per a f(x,y)=x^2-xy+y^2. - Problema 72 · Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat
Exercici 8 (Final 2015-16): programació lineal de la flota rebel. Formulació del model primal per optimitzar els ingressos d'una factoria que produeix naus X-wing, Y-wing i B-wing amb recursos… - Problema 73 · Rectes i plans a l'espai
Donada una recta expressada com a intersecció de dos plans 2x + 3y + z = 7 i -x - 2y - z = 10, trobeu l'equació general del pla perpendicular a la recta que passa pel punt (1, 1, 1) i indiqueu un… - Problema 74 · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Donada f(x,y) = xy - 2x^2 + (1/2)y^2 + 4, determineu el paràmetre k perquè el pla 10x + z + k = 0 sigui tangent a la gràfica de f(x,y), així com el punt de tangència. - Problema 75 · Formes quadràtiques i classificació amb restriccions lineals
Classifiqueu la forma quadràtica Q(x, y) = (5 - 4k)x^2 + 6kxy + (5 + 4k)y^2 segons els diferents valors del paràmetre real k pertanyent a R. - Ejercicio 76 - Regla de la cadena i derivació implícita · Regla de la cadena i derivació implícita
Donada f(x, y) = x ln(y) - y e^{xy} per a y > 0, calculeu i dibuixeu la recta tangent a la corba de nivell -1 en el punt d'abscissa x = 0. - Ejercicio 76 - Gradient, derivades direccionals i pla tange… · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Trobeu el valor màxim de les derivades direccionals de f en el punt (0, 1) i interpreteu el resultat obtingut sobre la representació de l'apartat anterior. - Problema 77 · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació
Es considera f(x, y) = x^3(x + y)^2 + 1. a. Localitzeu tots els punts crítics. b. Determineu mitjançant un procediment alternatiu si es tracta de màxims locals, mínims locals o punts de sella. - Ejercicio 78 - Funcions de diverses variables: domini i cor… · Funcions de diverses variables: domini i corbes de nivell
Sigui f(x, y) = ln(1 + 2x + 3y). Determineu i representeu analíticament el seu domini de definició. - Ejercicio 78 - Convexitat i concavitat de funcions · Convexitat i concavitat de funcions
Identifiqueu les regions del domini on f(x, y) = ln(1 + 2x + 3y) és còncava o convexa. - Problema 79 · Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange
Considerem f(x,y)=e^(x^2+y^2) sotmesa a x-y=2. Trobeu els punts estacionaris per Lagrange, dibuixeu les corbes de nivell i restricció, i classifiqueu per mètode gràfic i hessià orlat. - Problema 80 · Òptims globals en conjunts compactes
Trobeu els màxims i mínims globals de f(x,y)=x^2+10y en el recinte compacte S={x^2+y^2<=100, y>=0, x-y>=0}. Dibuixeu el domini. - Problema 81 · Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat
Resoleu el problema de programació lineal primal max B = x+y s.a. x<=4, y<=3, 2x+3y<=11, x,y>=0 i el seu dual. Calculeu el nou benefici màxim amb anàlisi de sensibilitat. - Problema 82 · Funcions de diverses variables: domini i corbes de nivell
Es considera la funció f(x, y) = √(4 - x² - y²) - √(y² - x²). a. Determineu el seu domini de definició, dibuixeu-lo i indiqueu expressament un punt que en formi part i un que no hi pertanyi. b.… - Problema 83 · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Donada la funció de producció Q(x, y) = 10 x^(3/4) y^(1/4) amb x, y > 0, calculeu la seva diferencial total dQ en qualsevol punt (a, b). Empreu aquesta expressió per calcular una estimació del valor… - Problema 84 · Funcions homogènies i teorema d'Euler
Considerem la funció $f(x, y) = \frac{\sqrt{ax^a - 2y^3}}{axy^b}$. Trobeu els valors de les constants $a, b \in \mathbb{R}$ que fan que sigui homogènia de grau 0, i calculeu el valor de l'expressió… - Problema 85 · Regla de la cadena i derivació implícita
L'expressió y^5*x - x^3 + 6 = 0 defineix implícitament y(x). a) Calculeu y(2). b) Calculeu y'(2) per derivació implícita. c) Trobeu l'equació de la recta tangent en x=2. d) Per a f(s,y) = 3y^2 +… - Problema 86 · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació
Donada la funció f(x, y) = ax^2y - xy, trobeu tots els punts estacionaris en funció del paràmetre a i determineu la seva classificació. - Problema 87 · Convexitat i concavitat de funcions
Per a la funció f(x,y) = x^2 y^2 + y^2, determineu en quines zones de R^2 és còncava o convexa i representeu gràficament els conjunts corresponents. - Problema 88 · Òptims globals en conjunts compactes
Exercici 7: optimització de f(x, y) = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 sobre el triangle compacte S = {x >= 0, y >= 0, x + y <= k}. Determinar k per al qual el punt crític lliure és interior a S, i trobar els… - Problema 89 · Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange
Exercici 8: optimització de f(x, y) = x^2 + y^2 condicionada a (x - 2)^2 + y^2 = 1. Trobar extrems amb multiplicadors de Lagrange, classificar gràficament i mitjançant concavitat/convexitat de la… - Problema 90 · Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat
Problema de programació lineal: trobar C a partir del valor òptim dual, trobar la solució primal òptima usant folgança complementària, i calcular la variació del valor màxim davant d'un increment de… - Problema 91 · Rectes i plans a l'espai
Trobar dos punts d'una recta a R3, determinar l'equació general del pla que conté la recta i un punt extern P, i estudiar per a quin valor del paràmetre k el pla és paral·lel a un altre pla donat. - Problema 92 · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Comprovar si el pla y + z = -1 és tangent a la superfície f(x, y) = 1/2 ln(x^2 + y^2) i trobar el punt de tangència. - Problema 93 · Formes quadràtiques i classificació amb restriccions lineals
Estudi d'una forma quadràtica f(x, y) = ax^2 + 6xy + ay^2 amb paràmetre a: condicions per a màxim global a l'origen i condicions sobre la recta y + 3x = 0 per ser estrictament positiva. - Problema 94 · Funcions homogènies i teorema d'Euler
Donada la funció f(x, y) = (sqrt[3]{x y^a} / sqrt{x^4 y^2 + x y^b}) e^{x/y}, determinar els valors de a i b perquè sigui homogènia, el seu grau d'homogeneïtat, i calcular la derivada direccional en… - Ejercicio 95 - Optimització lliure: punts estacionaris i cl… · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació
Es considera la funció f(x,y)=x^4+2x^2y^2+y^4-2a^2x^2+2a^2y^2 amb a>0. Localitzeu els punts estacionaris de f i procediu a la seva classificació local mitjançant la matriu hessiana. - Ejercicio 95 - Gradient, derivades direccionals i pla tange… · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Es considera la funció f(x,y)=x^4+2x^2y^2+y^4-2a^2x^2+2a^2y^2 amb a>0. b) Calculeu el gradient de f en el punt de la corba de nivell 0 amb y=0 i x>0. c) Per a a=1, dibuixeu el gradient i deduïu la… - Problema 96 · Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange
f(x,y)=1-x^2 y amb x^2+y=2. a) Trobar candidats a extrem relatiu per Lagrange. b) Classificar localment els punts trobats. c) Descripció geomètrica/gràfica. d) Justificar si són extrems globals. - Problema 97 · Òptims globals en conjunts compactes
Donada la funció f(x,y)=x^2+x^2y+y^2 sobre el domini S del 2n i 4t quadrant amb x^2+y^2<=2. a) Raonar si S és convex i/o compacte. b) Determinar el màxim i el mínim globals de f. - Problema 98 · Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat
Es considera el problema de programació lineal max f(x, y, z) = -8x + 6y - 6z s.a. -2(x - y) <= 1 - z, -x - 2z <= -3(1 + y), x,y,z >= 0. a) Formuleu el dual i resoleu-lo geomètricament. b) Trobeu la… - Problema 99 · Funcions de diverses variables: domini i corbes de nivell
Donada f(x, y) = sqrt(4 - (x-1)^2 - (y-1)^2) + ln(y + x), calculeu i representeu el domini de definició. Després descriviu els dominis segons el paràmetre k per f(x, y) = sqrt(4 - (x-k)^2 - (y-k)^2)… - Problema 100 · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Donada f(x, y) = (x^3 + y^3)^(1/3), localitzeu els punts de la gràfica on el vector (-1, 0, 1) és normal al pla tangent, i trobeu l'equació del pla tangent en aquests punts. - Ejercicio 101 - Formes quadràtiques i classificació amb res… · Formes quadràtiques i classificació amb restriccions lineals
Donada la forma quadràtica f(x, y) = (k - 4)x^2 - 6xy + (k + 4)y^2, determineu per a quins valors de k és definida positiva. - Ejercicio 101 - Gradient, derivades direccionals i pla tang… · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Donada la forma quadràtica f(x, y) = (k - 4)x^2 - 6xy + (k + 4)y^2, esbrineu per a quins valors de k és definida positiva i creix des de P = (-1, 1) en direcció v = (2, 1). - Problema 102 · Funcions homogènies i teorema d'Euler
Sigui la funció f(x, y) = sqrt(ax^a + bx^{1-a}y^{2-b}) / (2ax^{2a} - (a+b)x^a y^b)^(1/3). a) Trobeu a i b per a que f sigui homogènia. b) Calculeu el grau d'homogeneïtat. - Ejercicio 103 - Optimització lliure: punts estacionaris i c… · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació
Exercici 5, apartat a: Trobeu tots els punts estacionaris de f(x, y) = x^3 + 3xy^2 - 3x i procediu a classificar-los localment mitjançant el criteri de segon ordre. - Ejercicio 103 - Convexitat i concavitat de funcions · Convexitat i concavitat de funcions
Camp escalar f(x, y) = x^3 + 3xy^2 - 3x. b) Determineu el conjunt convex més gran S on f sigui còncava. És convexa en algun conjunt convex? c) Demostreu si (-1, 0) és un màxim global de f restringida… - Problema 104 · Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange
Considerem la funció f(x, y) = 4 - x^2 - y^2 sota la restricció x^2 + (y - 2)^2 = 1. a) Trobeu els punts estacionaris mitjançant multiplicadors de Lagrange. b) Classifiqueu-los emprant un mètode… - Problema 105 · Òptims globals en conjunts compactes
Calculeu el màxim i el mínim globals de la funció f(x, y) = ln x + ln y + ln(x + y) en el recinte definit per les desigualtats x >= 1, y >= 1 i x + y <= 3. - Problema 106 · Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat
Problema de programació lineal de cultiu agrícola: formulació del primal per a tres varietats de tomaqueres, plantejament i resolució gràfica del dual de dues variables, determinació de la solució… - Ejercicio 107 - Rectes i plans a l'espai · Rectes i plans a l'espai
Exercici 107 (apartat a): Donada la recta r: (x,y,z) = (1,0,1) + t(4,4,1) i el punt (0,1,-2), trobeu l'equació general del pla pi ortogonal a r que conté aquest punt i indiqueu un punt de R^3 que no… - Ejercicio 107 - Gradient, derivades direccionals i pla tang… · Gradient, derivades direccionals i pla tangent
Exercici 107 (apartat b): Determineu si existeix algun punt on el pla pi: 4x + 4y + z = 2 sigui tangent a la superfície f(x,y) = x^2 - 6xy + 3y^2 - 4y. - Problema 108 · Funcions de diverses variables: domini i corbes de nivell
Trobeu els valors del paràmetre a ∈ ℝ que aconsegueixen que el domini de definició de f(x, y) = √(4 - (x - 3)² - (y - 4)²) + ln(x - a) sigui el més gran possible. Representeu gràficament el domini… - Problema 109 · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació
Donada la funció f(x, y) = ax^2 + 2x^2y - y^2, trobeu tots els valors de a per als quals f(x, y) té un únic punt estacionari, calculeu aquest punt i procediu a la seva classificació local. - Problema 110 · Convexitat i concavitat de funcions
Donada la funció f(x,y) = 2x^2 + 2xy + ky^2, analitzeu la seva concavitat o convexitat segons els valors del paràmetre k, indicant si és estricta. Trobeu els seus extrems globals justificadament. - Problema 111 · Funcions homogènies i teorema d'Euler
Considerem la funció f(x,y) = (x^12 y^2a + (x^5 y^(b+1))^(1/2))^(1/3) / (x y^3). a) Determineu a i b perquè f sigui homogènia de grau 0. b) Trobeu la recta tangent a la corba de nivell per (1,2)… - Problema 112 · Òptims globals en conjunts compactes
Considerem el camp f(x, y) = x^2 + y^2 - 5 i el conjunt D = {(x, y) in R^2 : x^2 - y <= -1, x + y <= 3, y - x <= 3}. a) És D convex? És compacte? Justifiqueu la resposta. b) Trobeu els extrems… - Problema 113 · Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat
Considerem f(x,y)=ax+by i el recinte S={x>=0, y>=0, y<=4, y+x<=6}. Trobeu per a quins valors d'a i b la funció té un únic màxim global a S assolit en un punt amb x>0 i y>0. - Problema 114 · Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat
Problema lineal de minimització: min f(x,y)=x+2y s.a. x+6y>=15, -x+y>=-5, x,y>=0. a) Punt òptim i mínim. b) Problema dual i solució dual. c) Nou valor òptim si el terme independent de la 1a… - Problema 115 · Rectes i plans a l'espai
Donada la recta r formada per (x, 2x, 1): a) Vector director de r. b) Equació general del pla que conté r i el punt (1, 2, 4). c) Equació general d'un pla que no talli r en cap punt, amb justificació. - Problema 116 · Funcions de diverses variables: domini i corbes de nivell
Trobeu i representeu analíticament el domini de f(x, y) = 1/(x^2 + y^2 + k) + sqrt(x - y) distingint segons k. - Problema 117 · Convexitat i concavitat de funcions
Es considera la funció f(x, y) = x^2 y + y^2. a) Determineu el domini convex més gran S on la funció sigui convexa/còncava. b) Té la funció f algun extrem global quan es restringeix a aquest conjunt… - Problema 118 · Funcions homogènies i teorema d'Euler
Considerem f(x, y) = (x y^a) / sqrt(x^b + y^2). a. Trobeu a i b per a que f sigui homogènia i el grau. b. Calculeu 2 f'_x(2, 1) + 1 f'_y(2, 1) mitjançant el teorema d'Euler. - Problema 119 · Optimització lliure: punts estacionaris i classificació
Sigui f(x, y) = x^3 - axy - ay^2 amb a != 0. a. Trobeu a per a que tingui un punt estacionari amb y = 2. b. Classifiqueu el punt estacionari (0,0) segons a. - Problema 120 · Regla de la cadena i derivació implícita
Camp escalar f(x, y) = 3xy - 6x - 2y^3. a. Demostreu que cap punt de la corba de nivell z = 2 admet tangent paral·lela a l'eix x. b. Trobeu la cota de la corba de nivell que sí admet tangent… - Problema 121 · Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange
Optimitzeu f(x, y) = y - 2x^2 sotmesa a y - sqrt(x) = C, x >= 0. a. Punts estacionaris de Lagrange i f*. b. Relació de sensibilitat df*/dC. c. Variació aproximada per a Delta C = 0.2. d.… - Problema 122 · Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat
Un responsable d'empresa té dades incompletes de les regions factibles del problema primal (max f_P(x,y,z)=ax+by+cz) i dual (min f_D(u_1,u_2)=du_1+eu_2). A partir de la taula: a) Trobeu el valor…
También puedes estudiar por temas
Practica un tema con ejercicios de los exámenes de todos los años, mezclados.
- Gradient, derivades direccionals i pla tangent · 28 problemas · 85 % de que salga
- Optimització lliure: punts estacionaris i classificació · 19 problemas · 85 % de que salga
- Programació lineal: solució gràfica, dual i sensibilitat · 19 problemas · 85 % de que salga
- Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange · 18 problemas · 85 % de que salga
- Funcions homogènies i teorema d'Euler · 16 problemas · 85 % de que salga
- Rectes i plans a l'espai · 14 problemas · 85 % de que salga