Ejercicios de Gradient, derivades direccionals i pla tangent

28 ejercicios de Gradient, derivades direccionals i pla tangent que han salido en los exámenes de Matemàtiques Ii de la UPF…

Exercici 1 - Gradient, derivades direccionals i p… · 2021

Exercici 1.b: Per a f(x, y) = x^2 + ln(y), determineu la totalitat de punts (x, y, z) tals que el pla tangent a la superfície z = f(x, y) sigui paral·lel al pla definit per les rectes r i s.

Pregunta 2 · 2018

Pregunta 2: Trobar el paràmetre k pel qual el pla x + z = 6 és tangent a la superfície z = x^3 - 3x^2 + 2xy - y^2 + k en algun punt (x,y) amb x > 0.5, i trobar el punt de tangència.

Pregunta 3 · 2018

Pregunta 3: Calcular el valor màxim que pot assolir la funció g(h,k), definida com la derivada direccional de f(x,y) = e^(x+ln(y)) en el punt (0,1) segons un vector unitari (h,k).

Pregunta 4.a · 2013

Pregunta 4.a: Considerant f(x, y) = y^3 - 3ye^x - e^{3x}, calculeu la derivada direccional de f a l'origen de coordenades (0,0) en la direcció establerta pel vector v = (-1, 1).

Pregunta 6.b · 2013

Determineu l'equació del pla tangent a la superfície z = f(x, y) en qualsevol punt (a, b) que verifiqui a + b = 1.

Problema 2 · 2012

Determinar en quins punts (a, b) l'aproximació lineal de f(x, y) = x*e^(y/x) és f(x, y) ≈ x + y, i avaluar aproximadament f(a+0.2, b-0.1).

Problema 11 · 2012

Determinar el valor de k perquè el pla x + z = 6 sigui tangent a la superfície z = x^3 - 3x^2 + 2xy - y^2 + k en un punt amb x > 0.5, i trobar el punt de tangència.

Problema 12 · 2012

Donada la funció f(x, y) = e^(x + ln(y)), calcular el valor màxim que pot assolir la derivada direccional de f en el punt (0, 1) en la direcció d'un vector unitari (h, k).

Problema 21 · 2012

Per a la funció Q(x, y) = 10x^(1/4)y^(3/4), calcular el diferencial dQ en (a, a) amb a > 0 i aproximar Q(16.1, 15.9).

Problema 23 · 2012

Donada una funció diferenciable f(x, y), amb punts A(1,3), B(3,3), C(1,7) i D(6,15), la derivada direccional en A en la direcció de AB val 3 i en la de AC val 26. Trobeu la derivada direccional en A en la direcció de AD.

Ejercicio 32 - Gradient, derivades direccionals i pla tange… · 2012

Per a f(x,y) = ln(x/y): b) Trobeu el pla tangent a (a, a) amb a ≠ 0. c) Calculeu el gradient en un punt genèric (a, b). d) Trobeu els punts (a, b) on la derivada direccional segons el vector (1, -1) val √2.

Ejercicio 37 - Gradient, derivades direccionals i pla tange… · 2012

Calcula la derivada direccional de f(x,y)=y^3-3ye^x-e^{3x} en el punt (0,0) en la direcció del vector v=(-1,1).

Ejercicio 39 - Gradient, derivades direccionals i pla tange… · 2012

Donada la funció f(x, y) = x + y - ln(x + y), determineu l'equació del pla tangent en qualsevol punt (a, b) que verifiqui a + b = 1.

Problema 42 · 2012

Trobar el valor del paràmetre k per tal que el pla 7x + z - 3 = 0 sigui tangent a la gràfica de f(x, y) = xy - 3x^2 + 1/2 y^2 + k, i trobar el punt de tangència.

Problema 44 · 2012

Considerant la funció z = f(x,y) = e^(x/y) i el punt x = e de la corba de nivell z = e, trobeu les direccions unitàries en què la derivada direccional val exactament 1.

Problema 52 · 2012

Pregunta 4 (10 punts). Gradient i derivada direccional a corbes de nivell: Es considera f(x, y) = y - y*sqrt(x). a) Donat x = 4 a la corba de nivell de cota -2, determineu el vector unitari de màxim creixement de f en aquest punt. b) Calculeu la derivada direccional segons el vector tangent a la corba de nivell.

Problema 58 · 2012

Sigui la funció f(x, y) = mxy + (1/2)x^2 - 2y^2. Trobeu els valors del paràmetre m en R pels quals el pla 10y + z - 5/2 = 0 és tangent a la gràfica de f(x, y) en un punt on z = -5/2.

Ejercicio 60 - Gradient, derivades direccionals i pla tange… · 2012

Considerant f(x,y) = 1/2 * 2^x * y^3 amb f(3,2) = 16: si y es manté constant en 2, quin increment aproximat dx ha d'experimentar x = 3 perquè el valor de la funció passi de 16 a 18?

Problema 66 · 2012

Donada la funció f(x, y) = x^2 + y^2 + 4xy i el pla tangent 2x - 2y + cz + 10 = 0 (c != 0), trobeu c i el punt de tangència.

Problema 67 · 2012

Per a f(x, y) = 2x^3 - 3x^2 - 6xy - 3y^2, localitzeu els punts a la corba de nivell cota -12 on el màxim creixement té direcció (1, 1), i calculeu el valor màxim de les derivades direccionals en aquests punts.

Problema 74 · 2012

Donada f(x,y) = xy - 2x^2 + (1/2)y^2 + 4, determineu el paràmetre k perquè el pla 10x + z + k = 0 sigui tangent a la gràfica de f(x,y), així com el punt de tangència.

Ejercicio 76 - Gradient, derivades direccionals i pla tange… · 2012

Trobeu el valor màxim de les derivades direccionals de f en el punt (0, 1) i interpreteu el resultat obtingut sobre la representació de l'apartat anterior.

Problema 83 · 2012

Donada la funció de producció Q(x, y) = 10 x^(3/4) y^(1/4) amb x, y > 0, calculeu la seva diferencial total dQ en qualsevol punt (a, b). Empreu aquesta expressió per calcular una estimació del valor de Q(32.1, 1.9).

Problema 92 · 2012

Comprovar si el pla y + z = -1 és tangent a la superfície f(x, y) = 1/2 ln(x^2 + y^2) i trobar el punt de tangència.

Ejercicio 95 - Gradient, derivades direccionals i pla tange… · 2012

Es considera la funció f(x,y)=x^4+2x^2y^2+y^4-2a^2x^2+2a^2y^2 amb a>0. b) Calculeu el gradient de f en el punt de la corba de nivell 0 amb y=0 i x>0. c) Per a a=1, dibuixeu el gradient i deduïu la recta tangent a la corba de nivell.

Problema 100 · 2012

Donada f(x, y) = (x^3 + y^3)^(1/3), localitzeu els punts de la gràfica on el vector (-1, 0, 1) és normal al pla tangent, i trobeu l'equació del pla tangent en aquests punts.

Ejercicio 101 - Gradient, derivades direccionals i pla tang… · 2012

Donada la forma quadràtica f(x, y) = (k - 4)x^2 - 6xy + (k + 4)y^2, esbrineu per a quins valors de k és definida positiva i creix des de P = (-1, 1) en direcció v = (2, 1).

Ejercicio 107 - Gradient, derivades direccionals i pla tang… · 2012

Exercici 107 (apartat b): Determineu si existeix algun punt on el pla pi: 4x + 4y + z = 2 sigui tangent a la superfície f(x,y) = x^2 - 6xy + 3y^2 - 4y.

Otros temas de Matemàtiques Ii