Problema 69 · Matemàtiques Ii UPF 2012

a. Coordenada x del punt crític

Solución: $2$

a. Coordenada y del punt crític

Solución: $1$

a. Valor del multiplicador de Lagrange $\lambda$

Solución: $-\frac{1}{4}$ / $\frac{1}{4}$

b. Valor del determinant del hessià orlat $|H^*(2, 1)|$

Solución: $-\frac{3}{8}$ / $\frac{3}{8}$

b. Classificació local del punt crític

Solución: Mínim local estricte / Mínim local

c. Raonament sobre si el punt és o no extrem absolut (global)

Solución: En el punt estacionari tenim $f(2, 1) = \frac{1}{4}$. Si prenem punts admissibles sobre la recta amb $y < 0$, com per exemple $(4, -1)$, la funció val $f(4, -1) = -\frac{1}{16} < \frac{1}{4}$. Per tant, no és un mínim global; a més, quan $x \to 0$ amb $y = 3$, $f \to +\infty$, de manera que no existeixen extrems globals.