Problema 51 · Matemàtiques Ii UPF 2012

Pregunta 3. Funcions homogènies i identitat d'Euler

Sigui la funció $f(x, y) = \frac{\sqrt[3]{(xy)^a}}{x^2+y^2}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)$, amb $a \in \mathbb{R}$.

a)

Demostreu que $f$ és una funció homogènia i determineu el seu grau d'homogeneïtat en funció de $a$:

b)

Suposant que $a = 0$, calculeu el valor numèric de l'expressió $-2x f'_x - 2y f'_y$ en termes de $f(x, y)$: