Problema 112 · Matemàtiques Ii UPF 2012

Tema: Òptims globals en conjunts compactes · Del examen Recull d'exàmens resolts de Matemàtiques II (Part 1: 2012-2019) (2012)

Enunciado

Considerem el camp f(x,y)=x2+y2−5f(x, y) = x^2 + y^2 - 5 i el conjunt D={(x,y)∈R2:x2−y≤−1,  x+y≤3,  y−x≤3}D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 - y \le -1,\; x + y \le 3,\; y - x \le 3\}.

a)

És DD un conjunt convex? És compacte? Justifiqueu la resposta.

El conjunt DD és convex:

El conjunt DD és compacte:

b)

Trobeu, si existeixen, els extrems globals de ff en el conjunt DD.

(

,

)

(

,

)

Enunciado: Problema 112 · Matemàtiques Ii UPF 2012

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) És DD un conjunt convex? És compacte?

Solución: Convex: Sí; Compacte: Sí

a) Justifiqueu la convexitat i compacitat de DD:

Solución: El conjunt DD està acotat inferiorment per la paràbola y≥x2+1y \ge x^2 + 1 (que és convexa cap amunt) i superiorment per dues rectes y≤3−xy \le 3 - x i y≤3+xy \le 3 + x. Com que és la intersecció de tres conjunts convexos (el sobregraf d'una paràbola convexa i dos semiplans), DD és convex. A més, és tancat i fitat, per tant és compacte.

b) Coordenada xx del mínim global:

Solución: 0

b) Coordenada yy del mínim global:

Solución: 1

b) Valor del mínim global de ff:

Solución: -4

b) Coordenada xx del màxim global:

Solución: 0

b) Coordenada yy del màxim global:

Solución: 3

b) Valor del màxim global de ff:

Solución: 4

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 105 · 2012

Más ejercicios de Òptims globals en conjunts compactes