Problema 104 · Matemàtiques Ii UPF 2012

Tema: Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange · Del examen Recull d'exàmens resolts de Matemàtiques II (Part 1: 2012-2019) (2012)

Enunciado

Considerem la funció f(x,y)=4−x2−y2f(x, y) = 4 - x^2 - y^2 sota la restricció x2+(y−2)2=1x^2 + (y - 2)^2 = 1.

a.

Trobeu els punts estacionaris mitjançant el mètode dels multiplicadors de Lagrange.

b.

Classifiqueu aquests punts (com a màxims o mínims) emprant qualsevol mètode analític vist a classe diferent del mètode purament gràfic.

c.

Comproveu i il·lustreu geomètricament els resultats obtinguts mitjançant les corbes de nivell.

Enunciado: Problema 104 · Matemàtiques Ii UPF 2012

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Punt estacionari 1 (x,y)(x, y) amb λ=1\lambda = 1:

Solución: (0,1)(0, 1)

a. Punt estacionari 2 (x,y)(x, y) amb λ=−3\lambda = -3:

Solución: (0,3)(0, 3)

b. Classificació i valor de ff al punt (0,1)(0, 1):

Solución: Màxim global, f(0,1)=3f(0, 1) = 3

b. Classificació i valor de ff al punt (0,3)(0, 3):

Solución: Mínim global, f(0,3)=−5f(0, 3) = -5

c. Comproveu i il·lustreu geomètricament els resultats obtinguts mitjançant les corbes de nivell.

Solución: Les corbes de nivell de ff són circumferències centrades a l'origen x2+y2=4−cx^2 + y^2 = 4 - c. El punt més proper a l'origen sobre la restricció és (0,1)(0, 1) (màxim), i el més allunyat és (0,3)(0, 3) (mínim).

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 96 · 2012 · Problema 121 · 2012 ›

Más ejercicios de Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange