Problema 15 · Matemàtiques Ii UPF 2012

Es consideren les rectes següents a $\mathbb{R}^3$: La recta $r$ que conté l'origen de coordenades $(0,0,0)$ i el punt $(1,0,-1)$.

La recta $s$ definida pel sistema $\begin{cases} x = 1 + z \\ y = -z \end{cases}$.

a)

Demostreu que els vectors directors d'ambdues rectes són perpendiculars entre si calculant el seu producte escalar:

b)

Determineu l'equació general del pla $\pi_1$ que conté la recta $r$ i el punt $(0, 1, -2)$:

c)

Comproveu que el pla $\pi_2$ amb equació $x + 2y + z = 1$ conté íntegrament la recta $s$. En substituir les equacions paramètriques de $s$ ($x = 1+z, y = -z$) a l'equació de $\pi_2$, quin valor pren l'expressió $(1+z) + 2(-z) + z$?

d)

Són paral·lels o perpendiculars els plans $\pi_1$ i $\pi_2$? Raoneu si aquest resultat contradiu o no la conclusió de l'apartat (a).