Problema 40 · Matemàtiques Ii UPF 2012

Es considera el següent problema de programació lineal de minimització amb quatre variables:$$\min Z = 6x + 7y + 10z + 8t \quad \text{subjecte a} \quad \begin{cases} -x + z + t \ge 1 \\ x + y + z \ge 2 \\ x, y, z, t \ge 0 \end{cases}$$

a)

[7 punts] Formuleu el corresponent problema dual (amb variables $u, v \ge 0$) i determineu-ne la solució òptima per via gràfica.

$u^* =$, $v^* =$

$W^* =$

b)

[3 punts] Quins són els preus ombra de les restriccions del primal? Quin valor pren el mínim del problema primal? Si les restriccions del primal es modifiquen a $-x + z + t \ge 0{,}9$ i $x + y + z \ge 2{,}05$, estimeu el nou valor mínim de la funció objectiu.

$y_1^* =$, $y_2^* =$

$Z^* =$

c)

[5 punts] Calculeu el punt solució òptim del problema primal emprant el teorema de complementarietat.

$x^* =$, $y^* =$, $z^* =$, $t^* =$