Problema 5 · Matemàtiques Ii UPF 2012

Recuperació 2018-19 - Problema 5 (8 punts). Minimitza costos amb restricció

Una empresa pretén minimitzar els costos de fabricació associats a dos béns, descrits per la funció:$$C(x, y) = ax^2 + 2by^2$$on $x$ i $y$ indiquen les quantitats produïdes i les constants verifiquen $a > 0$ i $b > 0$. La producció total es troba sotmesa a la restricció:$$Q(x, y) = ax + by = K \quad (K > 0)$$A més, s'ha observat que un increment de $0.1$ unitats en la producció $Q$ (passant a $K + 0.1$) genera un augment aproximat en el cost mínim de $2$ unitats. Determineu la quantitat de cadascun dels béns que minimitza els costos i el valor del multiplicador de Lagrange $\lambda$.

a)

Valor del multiplicador de Lagrange $\lambda$:

b)

Quantitat de cadascun dels béns que minimitza els costos: