Problema 77 · Matemàtiques Ii UPF 2012

a. Localitzeu tots els punts crítics (estacionaris) de la funció.

Solución: Tots els punts de l'eix $x = 0$ i tots els punts de la recta $x + y = 0$.

b. Sabent que el criteri del hessià no permet classificar aquests punts, determineu mitjançant un procediment alternatiu si es tracta de màxims locals, mínims locals o punts de sella.

Solución: Punts de $x = 0$ amb $y_0 \neq 0$: punts de sella. Punts de $x + y = 0$ amb $x > 0$: mínims locals no estrictes. Punts de $x + y = 0$ amb $x < 0$: màxims locals no estrictes.

Justificació del procediment alternatiu

Solución: Estudi del signe de $f(x, y) - 1 = x^3(x + y)^2$: com que $(x+y)^2 \ge 0$, el signe ve determinat pel terme $x^3$.