Problema 35 · Matemàtiques Ii UPF 2012

Tema: Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange · Del examen Recull d'exàmens resolts de Matemàtiques II (Part 1: 2012-2019) (2012)

Enunciado

35 Març 2013 - Problema 2 (15 punts). Multiplicadors de Lagrange i nivell

Es considera la funció f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2.

a.

Trobeu els màxims i mínims de ff restringida a la recta y−x=ky - x = k (on kk és una constant) mitjançant el mètode de Lagrange, justificant el caràcter local o global del resultat.

(, )

b.

Dibuixeu les corbes de nivell 1, 2, 3 i 4 de la funció ff juntament amb la recta per a k=2k = 2, i resoleu el problema de forma gràfica per a aquest valor concret.

(, )

c.

Comproveu que la derivada del valor òptim respecte al paràmetre kk, df∗dk\frac{df^*}{dk}, coincideix amb el multiplicador de Lagrange λ\lambda trobat a l'apartat (a).

Enunciado: Problema 35 · Matemàtiques Ii UPF 2012

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Justificació del caràcter de l'extrem i dibuix de les corbes de nivell per a k = 2

Solución: Mínim global. Dibuix: Circumferències concèntriques centrades a l'origen de radis 1,2,3,21, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2 i la recta y=x+2y = x + 2, tangent a la circumferència de radi 2\sqrt{2} (nivell 2) en el punt (−1,1)(-1, 1).

a. Coordenada x* del punt crític

Solución: -k/2

a. Coordenada y* del punt crític

Solución: k/2

a. Multiplicador de Lagrange lambda

Solución: k

b. Coordenada x del punt de tangència per a k = 2

Solución: -1

b. Coordenada y del punt de tangència per a k = 2

Solución: 1

c. Expressió del valor òptim f*(k)

Solución: k^2/2 / (k^2)/2 / 0.5 k^2

c. Derivada del valor òptim df*/dk

Solución: k

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 30 · 2012 · Problema 47 · 2012 ›

Más ejercicios de Optimització amb restriccions d'igualtat: mètode de Lagrange