Problema 117 · Matemàtiques Ii UPF 2012

Tema: Convexitat i concavitat de funcions · Del examen Recull d'exàmens resolts de Matemàtiques II (Part 1: 2012-2019) (2012)

Enunciado

Exercici 3 (Final 2017-18): convexitat màxima i extrems globals [15 p]

Es considera la funció f(x,y)=x2y+y2f(x, y) = x^2y + y^2.

a)

Determineu el domini convex més gran SS on la funció sigui convexa/còncava. Indiqueu la condició que defineix SS i el tipus de curvatura de ff en aquest domini:

S={(x,y)∈R2:S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: }\}

Convexa

Còncava

b)

Té la funció ff algun extrem global quan es restringeix a aquest conjunt SS? Justifiqueu-ho i indiqueu el punt i valor del mínim o màxim global si existeix.

c)

Demostreu detalladament que ff no té ni màxims ni mínims globals si es pren com a domini tot R2\mathbb{R}^2.

Enunciado: Problema 117 · Matemàtiques Ii UPF 2012

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Condició que defineix el domini convex més gran S

Solución: y≥x2y \ge x^2

a) Tipus de curvatura de f en el conjunt S

Solución: Convexa

b) Raonament sobre els extrems globals a S

Solución: L'origen (0,0)(0,0) és un mínim global sobre SS amb valor f(0,0)=0f(0,0)=0. No té màxim global perquè f(0,y)=y2→+∞f(0, y) = y^2 \to +\infty quan y→+∞y \to +\infty.

b) Punt on s'assoleix el mínim global (x, y)

Solución: (0,0)(0, 0)

c) Demostreu detalladament que f no té ni màxims ni mínims globals si es pren com a domini tot R^2

Solución: No està fitada ni superiorment ni inferiorment: sobre y=1y = 1, lim⁡x→+∞f(x,1)=+∞\lim_{x \to +\infty} f(x, 1) = +\infty; sobre y=−1y = -1, lim⁡x→+∞f(x,−1)=−∞\lim_{x \to +\infty} f(x, -1) = -\infty.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 110 · 2012

Más ejercicios de Convexitat i concavitat de funcions