Problema 47 · Matemàtiques Ii UPF 2012

Pregunta 7 (20 punts). Optimització condicionada amb multiplicadors de Lagrange

Es considera la funció $f(x, y) = \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{36}$, subjecta a la restricció $xy = 8$.

a)

[10 punts] Emprant el mètode dels multiplicadors de Lagrange, determineu els punts estacionaris i els valors òptims corresponents (sense necessitat de classificar-los).

(

,

)

(

,

)

b)

[5 punts] Si la constant de la restricció varia lleugerament de 8 a un nou valor, de manera que el valor òptim $f^*$ disminueix de $\frac{8}{9}$ a $\frac{7}{9}$, quina és la nova restricció?

c)

[5 punts] A la figura adjunta es mostren les corbes de nivell $z = 1/4$, $z = 1$ i $z = 4$ de la funció $f(x, y)$. Dibuixeu-hi la restricció $xy = 8$ i deduïu si els punts obtinguts a l'apartat (a) són extrems locals o globals.