Problema 122 · Matemàtiques Ii UPF 2012

Exercici 8 (Final 2017-18): reconstrucció de problemes primal i dual (10 p)

Un responsable d'empresa va resoldre un model de programació lineal per optimitzar beneficis. A causa d'un error informàtic, només es conserven algunes dades de la regió factible del primal ($\max f_P(x,y,z) = ax+by+cz$) i del dual ($\min f_D(u_1,u_2) = du_1+eu_2$):

Primal · Dual

$(x,y,z)$ · $f_P(x,y,z)$ · $(u_1,u_2)$ · $f_D(u_1,u_2)$

$(90, 2, *)$ · $2444$ · $(3, 5)$ · $5500$

$(63, *, 4)$ · $2228$ · $(1, *)$ · $3500$

$(*, 75, 0)$ · $3500$ · $(*, 4)$ · $4000$

$(58, 17, 35)$ · $2790$ · $(6, 1)$ · $6500$

$(*, 6/5, 2)$ · $1728$ · $(4, *)$ · $5000$

a.

Empreu la informació de la taula per trobar el valor òptim comú $f^*$, els coeficients de la funció dual $f_D$ i la solució dual $(u_1^*, u_2^*)$.

b.

Recuperades les restriccions del dual:$$\begin{cases}10u_1 + 2u_2 \ge 20 \\ 5u_1 + 5u_2 \ge 30 \\ 4u_1 + 8u_2 \ge 32\end{cases}$$trobeu la funció objectiu primal $f_P$ i el punt òptim $(x^*, y^*, z^*)$.

c.

Si les noves restriccions primals passen a ser $10x + 5y + 4z \le 1002$ i $2x + 5y + 8z \le 501$, trobeu el nou benefici màxim.