Ejercicios de Funcions homogènies i teorema d'Euler

16 ejercicios de Funcions homogènies i teorema d'Euler que han salido en los exámenes de Matemàtiques Ii de la UPF (Grado en Administración y Dirección de…

Exercici 3 · 2021

Exercici 3: Gradient d'una funció homogènia f(x, y) de grau k amb paràmetres a i b. Trobeu k, a i b, i calculeu l'expressió explícita de f(x, y).

Pregunta 7 · 2018

Homogeneïtat i teorema d'Euler: trobar a i b perquè la funció racional f(x,y) sigui homogènia, calcular el seu grau d'homogeneïtat k, i determinar mitjançant el teorema d'Euler si g(x,y) = sqrt(f(x,y)) és homogènia i el seu grau.

Pregunta 3 · 2013

Pregunta 3 (15 punts): Se sap que la funció f(x, y) = (x y^a) / sqrt(x^b + y^2) és homogènia de grau 0. Trobeu a i b justificant el procediment, calculeu dy/dx sobre una corba de nivell qualsevol (mitjançant el teorema d'Euler) i determineu les rectes tangents a f(x, y) = 4/5 en x = 2.

Problema 1 · 2012

Es considera una funció f(x, y) homogènia de grau 2. El punt (1, 3) pertany a la corba de nivell 5 de f i f'_x(1, 3) = 2 f'_y(1, 3). Calculeu el gradient de f en el punt (1, 3).

Problema 16 · 2012

Es considera f(x, y) = (2x^a y^2 + y^b)/(x^2 y^2 + x^a y^b). Sabent que f és homogènia: a) Trobeu a i b. b) Grau d'homogeneïtat k de f. c) Per a g(x, y) = sqrt(f(x, y)), verifiqueu amb el teorema d'Euler si g és homogènia i determineu el seu grau.

Problema 22 · 2012

Sabent que f(x, y) = sqrt(x^3 + x^m * sqrt(y^5)) és homogènia, calculeu el valor del paràmetre m, el grau d'homogeneïtat k i el valor de l'expressió (2/3)(x f'_x + y f'_y).

Ejercicio 32 - Funcions homogènies i teorema d'Euler · 2012

Es considera la funció f(x, y) = ln(x/y). Determineu si és homogènia, de quin grau i justifiqueu la resposta.

Ejercicio 36 - Funcions homogènies i teorema d'Euler · 2012

Per a la funció f(x,y)=(x*y^a)/sqrt(x^b+y^2) homogènia de grau 0: trobeu a i b; i calculeu dy/dx en qualsevol punt d'una corba de nivell emprant el Teorema d'Euler.

Problema 43 · 2012

Per a la funció f(x, y) = (x^7 + x y^b)/sqrt(x^a y^5), determinar a i b sabent que x f'_x + y f'_y = 2f, i calcular el grau d'homogeneïtat k si a = 0.

Problema 51 · 2012

Pregunta 3 (10 punts). Funcions homogènies i identitat d'Euler: Sigui f(x, y) = ((xy)^a)^(1/3) / (x^2 + y^2) * (1/x + 1/y). a) Demostreu que f és homogènia i determineu el grau d'homogeneïtat en funció de a. b) Suposant a = 0, calculeu el valor de -2x f'_x - 2y f'_y.

Problema 61 · 2012

Sigui la funció de dues variables f(x, y) = x/y^a - (3x^2)/(bx^b + sqrt(x^3y + xy^3)). a) Trobeu per a quins valors de a, b en R la funció és homogènia i determineu el seu grau. b) Calculeu el quocient (y * df/dy)/(x * df/dx).

Problema 84 · 2012

Considerem la funció $f(x, y) = \frac{\sqrt{ax^a - 2y^3}}{axy^b}$. Trobeu els valors de les constants $a, b \in \mathbb{R}$ que fan que sigui homogènia de grau 0, i calculeu el valor de l'expressió $2x\frac{\partial f}{\partial x} + 2y\frac{\partial f}{\partial y}$ indicant el teorema o propietat utilitzat.

Problema 94 · 2012

Donada la funció f(x, y) = (sqrt[3]{x y^a} / sqrt{x^4 y^2 + x y^b}) e^{x/y}, determinar els valors de a i b perquè sigui homogènia, el seu grau d'homogeneïtat, i calcular la derivada direccional en (1, 1) en la direcció de (1, 1) usant el teorema d'Euler.

Problema 102 · 2012

Sigui la funció f(x, y) = sqrt(ax^a + bx^{1-a}y^{2-b}) / (2ax^{2a} - (a+b)x^a y^b)^(1/3). a) Trobeu a i b per a que f sigui homogènia. b) Calculeu el grau d'homogeneïtat.

Problema 111 · 2012

Considerem la funció f(x,y) = (x^12 y^2a + (x^5 y^(b+1))^(1/2))^(1/3) / (x y^3). a) Determineu a i b perquè f sigui homogènia de grau 0. b) Trobeu la recta tangent a la corba de nivell per (1,2) usant el teorema d'Euler.

Problema 118 · 2012

Considerem f(x, y) = (x y^a) / sqrt(x^b + y^2). a. Trobeu a i b per a que f sigui homogènia i el grau. b. Calculeu 2 f'_x(2, 1) + 1 f'_y(2, 1) mitjançant el teorema d'Euler.

Otros temas de Matemàtiques Ii