Problema 99 · Matemàtiques Ii UPF 2012

a. Calculeu i representeu gràficament el seu domini de definició.

Solución: El domini és la intersecció del cercle tancat $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \le 4$ (centre $(1, 1)$, radi 2) amb el semiplà obert $y + x > 0$ ($y > -x$). Correspon al cercle menys el segment circular tallat per la recta $y = -x$.

b. Determineu i descriviu els possibles dominis de la família de funcions segons els valors del paràmetre real k.

Solución: - Si $k \le -\sqrt{2}$: domini buit. - Si $-\sqrt{2} < k < \sqrt{2}$: cercle truncat per la recta $y = -x$. - Si $k = \sqrt{2}$: cercle tancat excepte el punt de tangència $(0,0)$. - Si $k > \sqrt{2}$: cercle complet de centre $(k, k)$ i radi 2.

Representació gràfica del domini de f(x, y)

Solución: Representació gràfica als eixos de coordenades del cercle de centre $(1,1)$ i radi 2 amb vora contínua, intersecat amb la regió per sobre de la recta discontínua $y = -x$. La part del cercle que queda per sota o sobre de $y = -x$ s'exclou.