Problema 96 · Matemàtiques Ii UPF 2012

a. Localitzeu tots els candidats a extrem relatiu mitjançant el mètode de Lagrange.

Solución: $(0, 2)$ amb $\lambda = 0$; $(\pm 1, 1)$ amb $\lambda = -1$

b. Classifiqueu localment els punts estacionaris trobats.

Solución: $(0, 2)$ és un màxim local amb valor $f(0, 2) = 1$; $(\pm 1, 1)$ són mínims locals amb valor $f(\pm 1, 1) = 0$

c. Descriviu el problema des d'una perspectiva geomètrica/gràfica.

Solución: La restricció és la paràbola invertida $y = 2 - x^2$ amb vèrtex a $(0, 2)$. Les corbes de nivell $1 - x^2 y = c$ són les hipèrboles $y = \frac{1-c}{x^2}$. Els punts de tangència entre la paràbola i aquestes hipèrboles corresponen precisament als punts determinats.

d. Justifiqueu de manera rigorosa si els extrems locals identificats són també màxims o mínims globals.

Solución: $(\pm 1, 1)$ són mínims globals amb valor mínim $0$. No existeix màxim global.