Examen de Matemàtiques Ii UPF 2012 · Recull d'exàmens resolts de (Part 1: 2012-2019)

Recuperació 2018-19 - Problema 1 [8 punts]. Gradient d'una funció homogènia

Es considera una funció $f(x, y)$ que és homogènia de grau 2. Se sap que el punt $(1, 3)$ pertany a la corba de nivell 5 de $f$ i que es verifica la relació entre derivades parcials $f'_x(1, 3) = 2f'_y(1, 3)$. Trobeu el gradient de $f$ en el punt $(1, 3)$.

Recuperació 2018-19 - Problema 2 (8 punts). Aproximació lineal i diferencial

Sigui la funció $f(x, y) = x e^{y/x}$. Determineu en quins punts $(a, b)$ la seva aproximació lineal és $f(x, y) \approx x + y$. Utilitzeu aquest resultat per avaluar aproximadament en aquests mateixos punts l'expressió $f(a + 0.2, b - 0.1)$.

a)

Forma dels punts $(a, b)$ (amb $a \neq 0$): quina és la coordenada $b$?

b)

Avaluació aproximada de $f(a + 0.2, b - 0.1)$ en funció de $a$:

Recuperació 2018-19 - Problema 3 (8 punts). Ortogonalitat del vector gradient

Es considera una funció $f$ d'una sola variable, derivable i que satisfà $f'(t) \neq 0$ per a tot $t$. Definim la funció de dues variables:$$G(x, y) = f(e^{x^2 + y^3})$$Demostreu que per a qualsevol valor $a \neq 0$, el gradient de $G$ en el punt de la forma $(a^2, a)$ resulta perpendicular al vector $(3, -2)$.

a)

Trobeu el gradient $\nabla G(x, y)$ aplicant la regla de la cadena:

b)

Calculeu el valor del producte escalar $\nabla G(a^2, a) \cdot (3, -2)$:

Recuperació 2018-19 - Problema 4 (8 punts). Òptims globals en recinte

Trobeu de manera justificada els extrems absoluts (màxims i mínims globals) de la funció$$f(x, y) = x + y^2$$definida sobre el conjunt $S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x \ge 0,\, x^2 + y^2 \le 1\}$.

a)

Punt on s'assoleix el mínim global:

$x =$

$y =$

b)

Valor màxim global de $f$:

Recuperació 2018-19 - Problema 5 (8 punts). Minimitza costos amb restricció

Una empresa pretén minimitzar els costos de fabricació associats a dos béns, descrits per la funció:$$C(x, y) = ax^2 + 2by^2$$on $x$ i $y$ indiquen les quantitats produïdes i les constants verifiquen $a > 0$ i $b > 0$. La producció total es troba sotmesa a la restricció:$$Q(x, y) = ax + by = K \quad (K > 0)$$A més, s'ha observat que un increment de $0.1$ unitats en la producció $Q$ (passant a $K + 0.1$) genera un augment aproximat en el cost mínim de $2$ unitats. Determineu la quantitat de cadascun dels béns que minimitza els costos i el valor del multiplicador de Lagrange $\lambda$.

a)

Valor del multiplicador de Lagrange $\lambda$:

b)

Quantitat de cadascun dels béns que minimitza els costos:

Problema 6. Geometria de rectes i plans

Es considera el pla $\pi$ d'equació $2x + y - z = 6$.

a)

Trobeu l'equació vectorial de la recta $r$ perpendicular a $\pi$ que talla aquest pla en un punt de la forma $(1, 1, k)$. Calculeu també el valor de $k$.

b)

Trobeu l'equació vectorial de la recta $s$ que resulta paral·lela a $r$ i passa pel punt $(0, 0, -6)$, i expresseu-la com a intersecció de dos plans.

c)

Determineu l'equació general del pla que conté alhora les rectes $r$ i $s$.

La corba implícita $9xy - x^3 - y^3 = 0$ correspon al conegut foli de Descartes. A la figura següent s'il·lustra la seva branca en el primer quadrant, juntament amb la recta bisectriu $y = x$ i el punt de retorn $P = (4.5, 4.5)$:

a.

Determineu l'equació de la recta tangent a la corba en el punt que té abscissa $x = 2$ i el valor d'ordenada $y$ més gran possible, i verifiqueu que coincideix amb $y = \frac{4}{5}x + \frac{12}{5}$.

La corba implícita $9xy - x^3 - y^3 = 0$ correspon al conegut foli de Descartes. A la figura següent s'il·lustra la seva branca en el primer quadrant, juntament amb la recta bisectriu $y = x$ i el punt de retorn $P = (4.5, 4.5)$:

b.

Calculeu i descriviu el domini de definició de la funció:$$f(x, y) = \sqrt{9xy - x^3 - y^3} + \ln(y - x) + \ln(x)$$

c.

Per a quins valors del paràmetre $k$ el domini de la funció següent resulta ser buit?$$g(x, y) = \sqrt{9xy - x^3 - y^3} + \ln(y - x) + \ln(x) + \sqrt{y - \frac{4}{5}x - k}$$

Problema 8 (15 punts). Convexitat i extrems condicionats

Es considera la funció $f(x, y) = x^3 + y^3 - axy$, on $a > 0$ és un paràmetre fix.

a.

Trobeu el domini convex més gran possible on la funció $f$ sigui estrictament convexa.

Condició sobre $x$:

Condició sobre $y$:

Condició sobre $xy$:

b.

Determineu els punts crítics (estacionaris) de $f$ i classifiqueu-los localment i globalment en el domini obtingut a l'apartat anterior.

$(x, y) =$

Recuperació 2018-19 - Problema 9 (15 punts). Programació lineal de benefici

Les regles del Fair Play financer imposen que les despeses d'un club no poden superar en $\alpha$ vegades els ingressos, i que els beneficis no poden superar una quantitat fixa $K$ menys $\beta$ vegades les despeses, on $\alpha > 0$, $\beta > 0$ i $K > 0$ són constants conegudes. Es vol trobar quins nivells d'ingressos ($x$) i despeses ($y$) maximitzen el benefici del club $B = x - y$.

a)

Formuleu el problema d'optimització lineal i les seves restriccions a partir dels paràmetres $\alpha, \beta, K$.

b)

Prenent els valors $\alpha = 1/2$ i $\beta = 2$, determineu els vèrtexs de la regió factible i resoleu el problema primal en funció de $K$.

c)

Amb aquests mateixos valors, formuleu el problema dual i resoleu-lo mitjançant les relacions d'optimalitat primal-dual (folgança complementària), sense emprar mètodes gràfics addicionals.

Final 2018-19 - Problema 1 (8 punts). Domini amb arrel i logaritme

Trobeu i representeu de manera raonada el domini de la funció següent:

$$f(x, y) = \sqrt{y - \frac{1}{x}} - \frac{1}{\ln\left((x - 4)^2 + (y - 4)^2 - 1\right)}$$

Final 2018-19 - Problema 2 (8 punts). Pla tangent a superfície

Es considera la funció $f(x, y) = x^3 - 3x^2 + 2xy - y^2 + k$, on $k \in \mathbb{R}$ és una constant. Esbrineu per a quins valors de $k$ el pla d'equació $x + z = 6$ resulta tangent a la gràfica de $z = f(x, y)$ en algun punt amb abscissa $x > 0.5$, i determineu les coordenades del punt de tangència.

Final 2018-19 - Problema 3 (8 punts). Màxim de derivada direccional

Donada la funció $f(x, y) = e^{x + \ln(y)}$, definim $g(h, k)$ com l'aplicació que assigna a cada vector unitari $(h, k) \in \mathbb{R}^2$ ($h^2 + k^2 = 1$) el valor de la derivada direccional de $f$ en el punt $(0, 1)$ en aquesta direcció.

Trobeu el valor màxim que pot assolir la funció $g$.

Final 2018-19 - Problema 4 (8 punts). Forma quadràtica de producció

La producció d'una empresa s'intenta modelitzar mitjançant la forma quadràtica:

$$P(L, K) = L^2 + K^2 - 6LK$$

on $L$ indica el nombre de treballadors i $K$ el nombre de màquines.

a)

Demostreu que la funció $P$ pot prendre tant valors estrictament positius com estrictament negatius.

b)

Per motius organitzatius de torns, s'exigeix la presència de 6 treballadors per cada màquina disponible. Demostreu mitjançant l'ús de determinants que, sota aquesta restricció, sempre es compleix $P(L, K) \ge 0$ i que per tant la funció sí que té sentit econòmic com a funció de producció.

Se sap que la funció $f(x, y) = x^4 + y^4 - kx^4y^4$ té un punt crític en $(1, 1)$. Trobeu el valor del paràmetre $k$ i classifiqueu aquest punt $(1, 1)$ com a extrem local.

Es consideren les rectes següents a $\mathbb{R}^3$: La recta $r$ que conté l'origen de coordenades $(0,0,0)$ i el punt $(1,0,-1)$.

La recta $s$ definida pel sistema $\begin{cases} x = 1 + z \\ y = -z \end{cases}$.

a)

Demostreu que els vectors directors d'ambdues rectes són perpendiculars entre si calculant el seu producte escalar:

b)

Determineu l'equació general del pla $\pi_1$ que conté la recta $r$ i el punt $(0, 1, -2)$:

c)

Comproveu que el pla $\pi_2$ amb equació $x + 2y + z = 1$ conté íntegrament la recta $s$. En substituir les equacions paramètriques de $s$ ($x = 1+z, y = -z$) a l'equació de $\pi_2$, quin valor pren l'expressió $(1+z) + 2(-z) + z$?

d)

Són paral·lels o perpendiculars els plans $\pi_1$ i $\pi_2$? Raoneu si aquest resultat contradiu o no la conclusió de l'apartat (a).

Es considera la funció $$f(x, y) = \frac{2x^a y^2 + y^b}{x^2 y^2 + x^a y^b}$$ Sabent que $f$ és homogènia:

a)

Trobeu els valors de les constants $a$ i $b$:

$a =$

$b =$

b)

c)

Emprant els valors trobats, considereu la funció $g(x, y) = \sqrt{f(x, y)}$. Verifiqueu mitjançant el teorema d'Euler si $g$ és homogènia (sense calcular les derivades de $f$ de manera explícita) i determineu el seu grau:

La producció d'una empresa (mesurada en milers d'unitats) és $f(x, y) = 3x^{1/3}y^{1/3}$, on $x > 0$ representa el capital i $y > 0$ el treball. La demanda mínima a satisfer és de 3000 unitats (és a dir, 3 milers), i les restriccions de pressupost imposen que $x + y \le 6$.

a)

Representeu en el pla $xy$ el conjunt definit per totes les restriccions i determineu si és compacte i/o convex.

Sí

No

Sí

No

La producció d'una empresa (mesurada en milers d'unitats) és $f(x, y) = 3x^{1/3}y^{1/3}$, on $x > 0$ representa el capital i $y > 0$ el treball. La demanda mínima a satisfer és de 3000 unitats (és a dir, 3 milers), i les restriccions de pressupost imposen que $x + y \le 6$.

b.

Trobeu les quantitats de capital i treball que permeten satisfer la demanda maximitzant la producció dins del pressupost mitjançant el mètode de Lagrange, i indiqueu el valor màxim $f^*$.

c.

Si un nou inversor permet relaxar la restricció a $x + y \le 6.2$, estimeu quin serà l'increment aproximat de la producció màxima.

Una constructora vol determinar la combinació òptima de maquinària per a un tram de carretera que inclou piconar i asfaltar. La capacitat d'execució diària és de $D(x, y) = 50x + 25y$ metres, on $x$ i $y$ són respectivament el nombre de màquines piconadores i asfaltadores emprades. La constructora compta amb 300 operaris, un màxim de 60 piconadores i 25 asfaltadores. Cada piconadora necessita 2 operaris i cada asfaltadora en requereix 10.

a)

Formuleu i resoleu el problema de maximització de la distància executada. Indiqueu quines restriccions són actives en la solució i la seva repercussió en les variables duals.

b)

Plantegeu el problema dual associat i calculeu el valor de les variables duals en l'òptim ($u_1^*, u_2^*, u_3^*$).

c)

Si la plantilla augmenta a 350 treballadors i s'adquireixen 3 asfaltadores més, estimeu la nova capacitat màxima diària mitjançant l'anàlisi de sensibilitat.

Es considera la recta $r: \begin{cases} x = 0 \\ y + z = 0 \end{cases}$ i el pla $\pi: kx + 3y - 3z + 5 = 0$. Trobeu el valor del paràmetre $k$ que fa que la recta $r$ sigui perpendicular al pla $\pi$.

Donada la funció $F(x, y) = e^{y^2 - x}$, determineu les equacions de les rectes tangents a la corba de nivell 1 de $F$ en tots els punts on $x = 1$.

Considereu la funció $Q(x, y) = 10x^{1/4}y^{3/4}$. Calculeu el diferencial $dQ$ en el punt $(a, a)$ amb $a > 0$, i empreu aquest resultat per determinar un valor aproximat de $Q(16.1, 15.9)$.

Sabent que la funció $f(x, y) = \sqrt{x^3 + x^m \sqrt{y^5}}$ és homogènia, calculeu el valor del paràmetre $m$, el seu grau d'homogeneïtat $k$ i el valor de l'expressió $\frac{2}{3}(x f'_x + y f'_y)$.

a)

b)

c)

Sigui $f(x, y)$ una funció diferenciable a $\mathbb{R}^2$. Es consideren els punts $A(1, 3)$, $B(3, 3)$, $C(1, 7)$ i $D(6, 15)$. Se sap que la derivada direccional de $f$ en el punt $A$ en la direcció del vector $\vec{AB}$ val 3, i que en la direcció del vector $\vec{AC}$ val 26. Trobeu el valor de la derivada direccional de $f$ en el punt $A$ en la direcció del vector $\vec{AD}$.

a)

Es considera la funció $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x - 12y$.

a.

Calculeu les primeres derivades parcials i la matriu Hessiana $H(x,y)$.

b.

Determineu tots els punts estacionaris de $f$ i classifiqueu-los localment.

c.

Són globals els màxims i mínims trobats a l'apartat anterior? Raoneu la resposta.

Es considera la funció $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x - 12y$.

d)

Sigui $S$ el triangle de vèrtexs $(0,0)$, $(2,0)$ i $(2,4)$. Trobeu els valors màxim i mínim absoluts de la funció $f$ en el recinte $S$.

Es considera la funció $f(x, y) = \frac{1}{x^2 y^2}$.

a.

Determineu el domini de definició de la funció $f$.

b.

Identifiqueu al gràfic següent quina corba de nivell correspon a cadascun dels valors $z = 1, z = 2, z = 4, z = 9$:

Ordeneu les corbes de nivell segons la seva posició respecte a l'origen de coordenades (de la més propera a l'origen a la més allunyada):

1a corba (la més propera a l'origen): $z =$

2a corba: $z =$

3a corba: $z =$

4a corba (la més allunyada de l'origen): $z =$

Es considera la funció $f(x, y) = \frac{1}{x^2 y^2}$.

c.

Empreu el mètode dels multiplicadors de Lagrange per localitzar els candidats a extrem de $f$ sotmesa a la restricció $x^2 + y^2 = 1$.

Punts crítics: $\left(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ o $x^2 = y^2 =$

Valor de $\lambda =$

d.

Amb l'ajuda del gràfic de corbes de nivell, classifiqueu els punts trobats en l'apartat anterior.

e.

Si la restricció s'amplia a $x^2 + y^2 = 1.1$, com es modifiquen aproximadament els valors òptims trobats?

Març 2012 - Pregunta 8 (15 punts). Problema dual i folgança complementària

Es considera el problema d'optimització lineal següent:

$$\max(x + 2y + z) \quad \text{subjecte a} \quad \begin{cases} x + 2z \le 1 \\ y - z \le 2 \\ x, y, z \ge 0 \end{cases}$$

a)

Formuleu i resoleu el problema dual. Què representen el valor òptim del dual i les variables duals respecte del problema primal?

b)

A partir de la solució dual, quin serà el nou valor màxim si el sistema de restriccions canvia a $x + 2z \le 1.1$ i $y - z \le 1.9$?

c)

Empreu la solució obtinguda pel dual per deduir la solució del problema primal mitjançant el teorema de folgança complementària.

27. Recuperació Maig 2013 - Problema 1 (10 punts). Rectes i pla perpendicular

Es considera la recta $r$ que passa pels punts $(1, 2, 3)$ i $(2, -1, 4)$.

a.

Trobeu l'equació general de la recta $r$ expressada com a intersecció de dos plans.

b.

Determineu l'equació del pla $\pi$ que passa pel punt $(1, 1, 1)$ i és perpendicular a la recta $r$.

c.

Obtingueu l'equació vectorial de la recta $s$ que passa per $(0, 0, 1)$ i és perpendicular al pla $\pi$ trobat a l'apartat anterior. Quina relació geomètrica hi ha entre $r$ i $s$?

28. Recuperació Maig 2013 - Problema 2. Optimització sobre semicercle (Apartats a i b)

Es considera el recinte $S$ format pel semicercle mostrat a la figura:

a.

Trobeu el punt o punts on la funció $f(x, y) = x - y$ assoleix els seus valors màxim i mínim sobre $S$ mitjançant raonaments gràfics de corbes de nivell.

b.

Són globals a $S$ els extrems trobats? Justifiqueu la resposta.

28. Recuperació Maig 2013 - Problema 2. Domini de definició (Apartat c)

Es considera el recinte $S$ format pel semicercle mostrat a la figura:

c.

Escriviu l'expressió analítica d'una funció $g(x, y)$ que tingui exactament per domini de definició el conjunt $S$.

Es considera la funció quadràtica $q(x, y) = 2x^2 - 6xy + 4y^2$.

a)

És possible trobar parelles de punts $(a, b)$ i $(c, d)$ tals que $q(a, b) > 0$ i $q(c, d) < 0$? Si la resposta és afirmativa, mostreu-ne un exemple.

És possible trobar aquestes parelles de punts?

b)

Donada la restricció lineal $3x + ky = 0$, trobeu tots els valors del paràmetre $k$ que fan que la funció $q$ restringida a aquesta recta prengui sempre valors menors o iguals a zero.

Es considera la funció quadràtica $q(x, y) = 2x^2 - 6xy + 4y^2$.

A la figura es mostra part de la corba de nivell -2 de la funció $q(x, y)$. Trobeu les equacions de les rectes tangents a aquesta corba en els dos punts assenyalats amb abscissa $x = 3$:

1.

2.

Recuperació Maig 2013 - Problema 4 (15 punts). Funció Cobb-Douglas condicionada

Es considera la funció $f(x, y) = x^{3/2}y$ definida en el domini $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x \ge 0, y \ge 0\}$.

a.

Trobeu el valor màxim de $f$ subjecte a $x + y = 15$ mitjançant el mètode dels multiplicadors de Lagrange.

$x^* =$

$y^* =$

Valor màxim $f^* =$

b.

Trobeu el valor màxim de $f$ subjecte a la restricció general $x + y = c$ ($c > 0$) mitjançant el mètode de substitució directa. Comproveu que coincideix amb el resultat anterior quan $c = 15$.

$f^*(c) =$

c.

Si la restricció de l'apartat (a) passa a ser $x + y = 15 + \Delta c$ i el nou màxim pren el valor aproximat de 153.9, quin és el valor aproximat de la variació $\Delta c$?

$\Delta c =$

Recuperació Maig 2013 - Problema 5 (15 punts). Maximitza beneficis duopoli

Una empresa comercialitza dos productes en règim de competència perfecta a uns preus unitaris de venda de 40 euros i 60 euros respectivament. La funció de costos totals ve donada per $C(x, y) = 2x^2 + 4y^2 + 4xy + 10$, on $x$ i $y$ són les quantitats produïdes. Sabent que per motius de capacitat no es poden produir més de 8 unitats en total entre tots dos béns, determineu quines quantitats d'ambdós béns maximitzen el benefici total i quin és aquest benefici màxim.

$x^* =$

$y^* =$

Es considera la funció $f(x, y) = \ln\left(\frac{x}{y}\right)$.

a.

És una funció homogènia? Si ho és, indiqueu de quin grau i justifiqueu la resposta.

Sí

No

Es considera la funció $f(x, y) = \ln\left(\frac{x}{y}\right)$.

b.

Trobeu l'equació del pla tangent a la gràfica de $f$ en un punt de la forma $(a, a)$ amb $a \neq 0$.

c.

Calculeu el gradient de $f$ en un punt genèric $(a, b)$ del seu domini.

, $)$

d.

Trobeu tots els punts $(a, b)$ del domini de $f$ en els quals la derivada direccional en la direcció del vector $(1, -1)$ prengui el valor $\sqrt{2}$.

33 Recuperació Maig 2013 - Problema 7 (15 punts). Programació lineal mètode gràfic

Es vol resoldre el problema lineal següent (problema primal):$$\max Z = 4x + 3y + 13z \quad \text{subjecte a} \quad \begin{cases} x + 2z \le 1 \\ y + z \le 1 \\ x, y, z \ge 0 \end{cases}$$

a.

Formuleu i resoleu gràficament el problema dual associat. Indiqueu el punt òptim $(u^*, v^*)$ i el valor mínim de la funció objectiu dual:

($$, $$)

b.

A partir de la solució dual, indiqueu el valor màxim de la funció $Z$ i determineu quin seria el valor aproximat de la solució òptima si el terme independent de la primera restricció passa a ser $1{,}2$ i el de la segona $0{,}9$.

c.

Empreu les condicions de folgança complementària per trobar el punt solució òptim primal $(x^*, y^*, z^*)$.

($$, $$, $$)

34 Març 2013 - Problema 1 (10 punts). Geometria analítica del pla

Donat el pla $\pi$ d'equació $x + y + z - 1 = 0$:

a.

Trobeu l'equació de la recta perpendicular a $\pi$ que passa per l'origen de coordenades.

b.

Calculeu el punt d'intersecció d'aquesta recta amb el pla $\pi$.

($$, $$, $$)

c.

Determineu l'equació del pla paral·lel a $\pi$ que passa per l'origen de coordenades.

35 Març 2013 - Problema 2 (15 punts). Multiplicadors de Lagrange i nivell

Es considera la funció $f(x, y) = x^2 + y^2$.

a.

Trobeu els màxims i mínims de $f$ restringida a la recta $y - x = k$ (on $k$ és una constant) mitjançant el mètode de Lagrange, justificant el caràcter local o global del resultat.

($$, $$)

b.

Dibuixeu les corbes de nivell 1, 2, 3 i 4 de la funció $f$ juntament amb la recta per a $k = 2$, i resoleu el problema de forma gràfica per a aquest valor concret.

($$, $$)

c.

Comproveu que la derivada del valor òptim respecte al paràmetre $k$, $\frac{df^*}{dk}$, coincideix amb el multiplicador de Lagrange $\lambda$ trobat a l'apartat (a).

La funció $f(x, y) = \frac{x y^a}{\sqrt{x^b + y^2}}$ és homogènia de grau 0.

a.

Trobeu els valors de les constants $a$ i $b$.

b.

Calculeu la derivada implícita $\frac{dy}{dx}$ en qualsevol punt d'una corba de nivell de $f$ (podeu emprar el Teorema d'Euler).

La funció $f(x, y) = \frac{x y^a}{\sqrt{x^b + y^2}}$ és homogènia de grau 0.

c.

Trobeu les equacions de les rectes tangents a la corba de nivell $f(x,y) = 4/5$ en els punts amb $x = 2$.

Es considera la funció $f(x, y) = y^3 - 3ye^x - e^{3x}$.

a.

Trobeu la derivada direccional de $f$ en el punt $(0,0)$ en la direcció del vector $\vec{v} = (-1, 1)$.

Es considera la funció $f(x, y) = y^3 - 3ye^x - e^{3x}$.

b.

Localitzeu tots els punts estacionaris de $f$ i classifiqueu-los com a màxims locals, mínims locals o punts de sella.

(,)

c.

Analitzeu si la funció posseeix màxims o mínims globals a $\mathbb{R}^2$.

Una empresa elabora dos articles sota un mercat de monopoli. Les respectives funcions de demanda estan determinades per $q_1 = 12 - p_1$ i $q_2 = 9 - \sqrt{p_2}$. D'altra banda, la funció de cost total és $C(q_1, q_2) = 4q_1 q_2 + 3$. Determineu els nivells de producció i els preus de mercat que proporcionen el màxim benefici a la firma, així com l'import del benefici màxim assolit.

1.

2.

3.

4.

5.

Es considera la funció definida per $f(x, y) = x + y - \ln(x + y)$.

a.

Caracteritzeu el seu domini tant analíticament com mitjançant representació gràfica.

Es considera la funció definida per $f(x, y) = x + y - \ln(x + y)$.

b)

[3 punts] Determineu l'equació del pla tangent en qualsevol punt $(a, b)$ que verifiqui $a + b = 1$.

Es considera la funció definida per $f(x, y) = x + y - \ln(x + y)$.

[3 punts] c. Analitzeu la convexitat o concavitat de $f$ en tot el seu domini.

Es considera la funció definida per $f(x, y) = x + y - \ln(x + y)$.

d)

[3 punts] Trobeu els punts estacionaris de la funció.

e)

[3 punts] Discutiu de manera raonada l'existència de màxims i mínims globals per a $f$.

Es considera el següent problema de programació lineal de minimització amb quatre variables:$$\min Z = 6x + 7y + 10z + 8t \quad \text{subjecte a} \quad \begin{cases} -x + z + t \ge 1 \\ x + y + z \ge 2 \\ x, y, z, t \ge 0 \end{cases}$$

a)

[7 punts] Formuleu el corresponent problema dual (amb variables $u, v \ge 0$) i determineu-ne la solució òptima per via gràfica.

$u^* =$, $v^* =$

$W^* =$

b)

[3 punts] Quins són els preus ombra de les restriccions del primal? Quin valor pren el mínim del problema primal? Si les restriccions del primal es modifiquen a $-x + z + t \ge 0{,}9$ i $x + y + z \ge 2{,}05$, estimeu el nou valor mínim de la funció objectiu.

$y_1^* =$, $y_2^* =$

$Z^* =$

c)

[5 punts] Calculeu el punt solució òptim del problema primal emprant el teorema de complementarietat.

$x^* =$, $y^* =$, $z^* =$, $t^* =$

Es considera la funció $z = \frac{1}{3} \ln(x^2 y)$, essent $x = e^{3t}$ i $y = 1 + e^{-3t}$.

a)

[7 punts] Emprant la regla de la cadena, trobeu la derivada $\frac{dz}{dt}$ expressada exclusivament en termes de la variable $t$. Simplifiqueu el resultat obtingut tant com sigui possible.

b)

[3 punts] Quant val $\frac{dz}{dt}$ en l'instant $t = 0$?

Sigui la funció de dues variables $f(x, y) = xy - 3x^2 + \frac{1}{2}y^2 + k$. Determineu el valor del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ que fa que el pla d'equació $7x + z - 3 = 0$ sigui tangent a la superfície gràfica de $f(x, y)$. Indiqueu també en quin punt s'esdevé aquesta tangència.

a)

$x_0 =$ $y_0 =$

b)

Es considera la funció definida per $f(x, y) = \frac{x^7 + x y^b}{\sqrt{x^a y^5}}$, amb paràmetres $a, b \in \mathbb{R}$.

a)

[7 punts] Sabent que es verifica la identitat $x f'_x + y f'_y = 2f$, trobeu els valors que han de tenir els paràmetres $a$ i $b$.

$a =$ $b =$

b)

[3 punts] Si se sap que la funció és homogènia i que $a = 0$, quin seria el grau d'homogeneïtat $k$ de la funció?

Sigui la funció $z = f(x, y) = e^{x/y}$. Considereu el punt amb $x = e$ pertanyent a la corba de nivell $z = e$. Trobeu quines són les direccions (expressades com a vectors unitaris) en les quals la derivada direccional de la funció en aquest punt val exactament $1$.

Introduïu en primer lloc la direcció que té la primera component més gran ($u_1$ major), $\vec{u}_A$, i després l'altra, $\vec{u}_B$.

(

,

)

(

,

)

Pregunta 5 (10 punts). Maximització del benefici d'un monopolista

Una empresa en situació de monopoli comercialitza dos béns, 1 i 2, les demandes dels quals vénen donades per $q_1 = 12 - p_1$ i $q_2 = \frac{28 - p_2}{3}$. La funció de costos totals és $C(q_1, q_2) = 2q_1q_2 + 15$.

Determineu la combinació de produccions que maximitza el benefici global de l'empresa i justifiqueu si es tracta d'un màxim absolut o únicament local.

Pregunta 6 (apartat a, 5 punts). Extrems relatius

Es considera la funció escalar $f(x, y) = 3x^2 - 8xy + 5$.

a)

Localitzeu i classifiqueu els punts estacionaris de $f$ a tot $\mathbb{R}^2$.

$($ $,$ $)$

Pregunta 6 (apartat b, 10 punts). Extrems absoluts sobre un domini fitat

Es considera la funció escalar $f(x, y) = 3x^2 - 8xy + 5$.

b)

Trobeu els extrems globals de la funció en el domini tancat i fitat $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: 0 \le x \le 9, \; 0 \le y \le \sqrt{x}\}$.

$($ $,$ $)$

$($ $,$ $)$

Pregunta 7 (20 punts). Optimització condicionada amb multiplicadors de Lagrange

Es considera la funció $f(x, y) = \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{36}$, subjecta a la restricció $xy = 8$.

a)

[10 punts] Emprant el mètode dels multiplicadors de Lagrange, determineu els punts estacionaris i els valors òptims corresponents (sense necessitat de classificar-los).

(

,

)

(

,

)

b)

[5 punts] Si la constant de la restricció varia lleugerament de 8 a un nou valor, de manera que el valor òptim $f^*$ disminueix de $\frac{8}{9}$ a $\frac{7}{9}$, quina és la nova restricció?

c)

[5 punts] A la figura adjunta es mostren les corbes de nivell $z = 1/4$, $z = 1$ i $z = 4$ de la funció $f(x, y)$. Dibuixeu-hi la restricció $xy = 8$ i deduïu si els punts obtinguts a l'apartat (a) són extrems locals o globals.

Pregunta 8 (15 punts). Formulació i resolució del problema dual

Considereu el problema dual de programació lineal següent:

$$\max D = 7u_1 - 3u_2 \quad \text{subjecte a} \quad \begin{cases} u_1 \le 1 \\ u_1 - u_2 \ge -2 \\ u_1 + u_2 \ge 2 \\ u_1, u_2 \ge 0 \end{cases}$$

a)

[5 punts] Formuleu el corresponent problema primal.

b)

[5 punts] Resoleu el problema dual i indiqueu el vector solució òptim $(u_1^*, u_2^*)$ juntament amb el valor màxim assolit.

c)

[5 punts] Mitjançant les condicions de complementarietat i la solució del dual, determineu la solució òptima del problema primal i el seu valor òptim.

Pregunta 1 (10 punts). Posicions relatives de plans i rectes a R3

Es considera el pla $\pi: 2x + 3z - 1 = 3 - y$.

a.

[2 punts] Comproveu raonadament si el punt $P(1, 0, 3)$ pertany al pla $\pi$.

b.

[3 punts] Escriviu l'equació vectorial de la recta $r$ que conté el punt $P$ i és perpendicular al pla $\pi$.

c.

[5 punts] Calculeu el valor de $k \in \mathbb{R}$ que fa que la recta $s$ definida per

$$s: \begin{cases} kx + 2y = 2 - 6z \\ y + 2z + 4 = x + 7 \end{cases}$$

sigui perpendicular a la recta $r$.

Pregunta 2. Classificació de formes quadràtiques amb restricció

Es considera la forma quadràtica $f(x, y) = x^2 - xy + \frac{1}{4}y^2$.

a)

Classifiqueu-la de manera raonada:

b)

Determineu una restricció lineal de la forma $px + qy = 0$ sota la qual la forma quadràtica sigui idènticament nul·la per a tot valor de $x$.

Pregunta 3. Funcions homogènies i identitat d'Euler

Sigui la funció $f(x, y) = \frac{\sqrt[3]{(xy)^a}}{x^2+y^2}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)$, amb $a \in \mathbb{R}$.

a)

Demostreu que $f$ és una funció homogènia i determineu el seu grau d'homogeneïtat en funció de $a$:

b)

Suposant que $a = 0$, calculeu el valor numèric de l'expressió $-2x f'_x - 2y f'_y$ en termes de $f(x, y)$:

Pregunta 4. Gradient i derivada direccional a corbes de nivell

Es considera la funció $f(x, y) = y - y\sqrt{x}$.

a)

Donat el punt amb abscissa $x = 4$ situat a la corba de nivell de cota -2, determineu el vector unitari que indica la direcció de màxim creixement de $f$ en aquest punt.

$($

$,$

$)$

b)

En aquest mateix punt, calculeu la derivada direccional segons qualsevol vector director de la recta tangent a la corba de nivell.

Sigui la funció $f(x, y) = -x^2 + y^2 + xy + x^3$.

a)

[10 punts] Trobeu els punts estacionaris de $f$ i feu-ne la classificació local.

(

,

)

(

,

)

Sigui la funció $f(x, y) = -x^2 + y^2 + xy + x^3$.

b)

[5 punts] Determineu el domini més ampli on la funció $f(x, y)$ és còncava o convexa.

$x \ge$

c)

[5 punts] En el domini determinat a l'apartat (b), raoneu si la funció presenta màxims o mínims globals i indiqueu quins són.

(

,

)

Pregunta 6 (15 punts). Extrems globals d'una funció quadràtica

Es considera la funció $f(x, y) = 3x^2 + 2y^2 - 4y$.

a)

[5 punts] Trobeu els extrems globals de $f$ a tot $\mathbb{R}^2$.

$($ $,$ $)$

No

Sí

Pregunta 6 (15 punts). Extrems globals d'una funció quadràtica

Es considera la funció $f(x, y) = 3x^2 + 2y^2 - 4y$.

b. (10 punts) Determineu els extrems globals de la funció en la regió fitada $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: y \ge x^2,\; y \le 4\}$.

Mínim absolut:

(,)

Màxim absolut:

Punt 1:

(,)

Punt 2:

(,)

Pregunta 7 (10 punts). Àrea màxima d'un rectangle inscrit amb diagonal fixa

Considereu tots els possibles rectangles de base $x$ i altura $y$ la diagonal dels quals té una longitud fixada $l > 0$. Determineu les dimensions del rectangle que maximitza l'àrea superficial. Plantegeu i resoleu el problema mitjançant el mètode dels multiplicadors de Lagrange, i raoneu el caràcter local o global de l'òptim trobat.

$x =$

$y =$

$\lambda =$

Pregunta 8 [15 punts]

Es considera el següent problema primal de programació lineal:

$\max z = 2x_1 + 3x_2 + x_3 \quad \text{subjecte a} \quad \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 \le 5 \\ -2x_1 + 3x_3 \ge x_2 - 7 \\ x_1, x_2, x_3 \ge 0 \end{cases}$

a)

[7 punts] Formuleu i resoleu geomètricament el problema dual associat.

$u_1^* =$ $u_2^* =$

b)

[5 punts] Mitjançant el teorema de complementarietat, deduïu la solució òptima del problema primal $(x_1^*, x_2^*, x_3^*)$.

$x_1^* =$ $x_2^* =$ $x_3^* =$

c)

[3 punts] Determineu el valor màxim de $z$ i els preus ombra del primal. Estimeu el nou valor màxim si el sistema de restriccions es converteix en:

$\begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 \le 4.8 \\ -2x_1 + 3x_3 \ge x_2 - 7.1 \end{cases}$

Pregunta 1 (10 punts). Determinació analítica del domini d'una funció

Donada la funció real de dues variables

$$f(x,y) = \frac{\sqrt{9 - (x - 2)^2 - y^2} + \sqrt{(2 - x)(4 - x)}}{x^2 + y^2 - 1}$$

trobeu de manera raonada el seu domini de definició i feu-ne una representació gràfica.

Pregunta 2 (10 punts). Determinació de paràmetres pel pla tangent

Sigui la funció de dues variables $f(x, y) = mxy + \frac{1}{2}x^2 - 2y^2$. Trobeu els valors del paràmetre $m \in \mathbb{R}$ pels quals el pla $10y + z - \frac{5}{2} = 0$ és tangent a la gràfica de $f(x, y)$ en un punt on $z = -\frac{5}{2}$.

Es considera la forma quadràtica $f(x, y) = (k - 1)x^2 + 4xy + (k + 2)y^2$.

a)

Determineu per a quins valors del paràmetre $k$ la forma quadràtica és definida negativa.

b)

Si les variables estan sotmeses a la restricció $y = -x$, trobeu per a quins valors de $k$ la forma quadràtica resultant és definida negativa.

Es considera la funció $f(x, y) = \frac{1}{4} 2^x y^3$. Observeu que $f(3, 2) = \frac{1}{4}(8)(8) = 16$.

a)

Si la variable $y$ es manté constant en el valor 2, quin increment aproximat ha d'experimentar $x = 3$ perquè el valor de la funció passi de 16 a 18?

Es considera la funció $f(x, y) = \frac{1}{4} 2^x y^3$. Observeu que $f(3, 2) = \frac{1}{4}(8)(8) = 16$.

b)

Si considerem ara que $x = t^2$ i $y = t + 2$, escriviu la fórmula de la derivada $\frac{df}{dt}$ mitjançant la regla de la cadena i calculeu el seu valor numèric en $t = 0$.

Pregunta 5 (15 punts). Grau d'homogeneïtat i aplicació d'Euler

Sigui la funció de dues variables

$$f(x, y) = \frac{x}{y^a} - \frac{3x^2}{bx^b + \sqrt{x^3y + xy^3}}$$

a)

[10 punts] Trobeu per a quins valors de $a, b \in \mathbb{R}$ la funció $f(x, y)$ és homogènia i determineu el grau d'homogeneïtat corresponent.

b)

[5 punts] Amb els paràmetres trobats a l'apartat anterior, calculeu el quocient $$\frac{y\frac{\partial f}{\partial y}}{x\frac{\partial f}{\partial x}}$$:

Pregunta 6 (15 punts). Optimització amb restricció d'igualtat i mètode gràfic

Es considera la funció $f(x, y) = 9 - x^2 - y^2$ subjecta a la restricció $-x^2 + y = -3$.

a)

[9 punts] Determineu els punts candidats a extrems mitjançant el mètode dels multiplicadors de Lagrange:

$(0,$

$)$

Coordenada $y$:

Coordenades $x$ dels dos punts:

b)

[6 punts] Classifiqueu els punts obtinguts a l'apartat anterior mitjançant mètodes gràfics:

Pregunta 7 (15 punts). Extrems absoluts sobre conjunts tancats

Sigui la funció $f(x, y) = xy^2$.

a.

[12 punts] Trobeu els màxims i mínims globals de $f$ en el conjunt compacte $S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x \ge 0,\, y \ge 0,\, x^2 + y^2 \le 1\}$.

b.

[3 punts] Determineu l'existència d'extrems absoluts de $f$ en el primer quadrant no fitat $T = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x \ge 0,\, y \ge 0\}$.

Pregunta 8 (15 punts). Resolució geomètrica d'un problema dual de programació lineal

Considereu el problema primal següent:

$$\min g(u, v, w) = u + 2v + 3w \quad \text{subjecte a} \quad \begin{cases} u + w \ge -1 \\ 1 - w \le v \\ u, v, w \ge 0 \end{cases}$$

a.

[7 punts] Formuleu i resoleu geomètricament el problema dual associat.

b.

[5 punts] Determineu el valor mínim global de $g(u, v, w)$ sota les restriccions inicials i el punt on s'assoleix.

c.

[3 punts] Com es modificarien el problema dual i la seva solució si la primera restricció passés a ser $u + w \ge -1.01$?

Considerem el pla d'equació $Ax + 3y + Cz = D$ amb paràmetres $A, C, D \in \mathbb{R}$ i la recta expressada en forma vectorial per $(x, y, z) = (1, 2, 3) + \lambda(1, -1, 0)$ amb $\lambda \in \mathbb{R}$.

a.

Determineu per a quins valors de $A, C, D$ la recta i el pla són mútuament perpendiculars.

b.

Calculeu els valors de $A, C, D$ que fan que la recta i el pla no tinguin cap punt d'intersecció comú.

Se sap que el pla $2x - 2y + cz + 10 = 0$ (amb $c \neq 0$) és tangent al gràfic de la funció $f(x, y) = x^2 + y^2 + 4xy$.

a.

Trobeu el valor que pren el coeficient $c$.

b.

Determineu les coordenades del punt on es produeix la tangència $(x_0, y_0, z_0)$.

Punt: (

,

,

)

Es considera el camp escalar $f(x, y) = 2x^3 - 3x^2 - 6xy - 3y^2$.

a.

Localitzeu els punts $P$ que pertanyen a la corba de nivell de cota -12 tals que la direcció de màxim creixement de la funció en $P$ vingui donada pel vector $(1, 1)$.

b.

Calculeu, per a cadascun dels punts obtinguts al primer apartat, el valor màxim de les derivades direccionals de $f$ en el punt $P$.

La lemniscata de Gerono és la corba plana definida per la relació implícita $x^4 = a^2(x^2 - y^2)$, amb el paràmetre no nul $a \neq 0$.

a.

Troba tots els punts de la corba on la recta tangent és paral·lela a la recta $y = 1$.

b.

Determina tots els punts de la corba on la recta tangent resulta paral·lela a la recta $x = 0$.

Exercici 5 (Final 2015-16): optimització condicionada i hessià orlat (15 p)

Considerem la funció $f(x, y) = \frac{1}{x^2 y}$ sotmesa a la condició $x + y = 3$.

a.

Trobeu els punts crítics mitjançant el mètode dels multiplicadors de Lagrange.

$x =$

$y =$

$\lambda =$

b.

Classifiqueu localment els punts anteriors calculant el determinant del hessià orlat.

c.

Raoneu detalladament si els punts obtinguts són o no màxims o mínims absoluts (globals).

Exercici 6 (Final 2015-16): sensibilitat de la funció valor (5 p)

La funció $f(x, y) = x^2 y^2$ subjecta a la restricció $x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 2y = -1$ té un extrem relatiu en el punt $(-1/4, 1/4)$ amb multiplicador de Lagrange $\lambda = -1/64$. Calculeu de forma aproximada el nou valor òptim si la restricció s'altera a $x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 2y - 1 = 0$. Justifiqueu la resposta citant el resultat emprat.

Considerem el camp escalar $f(x, y) = x^2 - xy + y^2$.

a.

Determineu els màxims i mínims absoluts en el triangle que té com a vèrtexs els punts $(1, 0)$, $(-1, -1)$ i $(1, -1)$, incloent la vora i l'interior.

Considerem el camp escalar $f(x, y) = x^2 - xy + y^2$.

b.

Decidiu de manera raonada si existeix algun punt $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$ tal que $f(x_0, y_0) < 0$ (sense restringir la funció al triangle).

Sí

No

Exercici 8 (Final 2015-16): programació lineal de la flota rebel (15 p)

Una factoria produeix tres models de naus estel·lars: X-wing, Y-wing i B-wing, que es venen a l'Aliança per 60, 50 i 30 milions de crèdits respectivament. Es disposa de 2000 tones d'alumini i 1500 tones de tal·li. Per fabricar una nau X-wing calen 2 tones d'alumini i 2 de tal·li; per a una Y-wing calen 2 tones d'alumini i 1 de tal·li; per a una B-wing, 2 d'alumini i 6 de tal·li.

a.

Formuleu el problema d'optimització dels ingressos totals de la fàbrica.

b.

Plantegeu el problema dual associat i resoleu-lo gràficament fent ús de la graella.

$u^* =$

, $v^* =$

c.

Mitjançant els resultats obtinguts al dual, determineu el nombre de naus de cada classe que cal produir per maximitzar l'ingrés.

Naus X-wing ($x^*$):

Naus Y-wing ($y^*$):

Naus B-wing ($z^*$):

d.

Si s'ofereix incorporar una tona addicional d'alumini o bé de tal·li, quin dels dos recursos genera un impacte superior en els ingressos?

Alumini

Tal·li

Considereu la recta expressada mitjançant el sistema d'equacions implícites:

$$\begin{cases} 2x + 3y + z = 7 \\ -x - 2y - z = 10 \end{cases}$$

Calculeu l'equació general del pla perpendicular a aquesta recta que passi pel punt $(1, 1, 1)$ i indiqueu un altre punt qualsevol que pertanyi a aquest pla.

Donada la funció de dues variables $f(x, y) = xy - 2x^2 + \frac{1}{2}y^2 + 4$, esbrineu per a quin valor del paràmetre $k$ el pla d'equació $10x + z + k = 0$ és tangent a la gràfica de $f(x, y)$. Determineu també el punt exacte de contacte.

Exercici 3 (Recuperació 2014-15): classificació de forma quadràtica

[10 punts]

Classifiqueu la forma quadràtica $Q(x, y) = (5 - 4k)x^2 + 6kxy + (5 + 4k)y^2$ segons els diferents valors del paràmetre real $k \in \mathbb{R}$.

Es considera la funció $f(x, y) = x \ln(y) - y e^{xy}$ definida per a $y > 0$.

a.

Calculeu i dibuixeu la recta tangent a la corba de nivell -1 de la funció en el punt d'abscissa $x = 0$. Especifiqueu detalladament els càlculs i fórmules emprades.

Es considera la funció $f(x, y) = x \ln(y) - y e^{xy}$ definida per a $y > 0$.

b.

Trobeu el valor màxim de les derivades direccionals de $f$ en el punt $(0, 1)$ i interpreteu el resultat obtingut sobre la representació de l'apartat anterior.

Es considera la funció $f(x, y) = x^3(x + y)^2 + 1$.

a.

Localitzeu tots els punts crítics (estacionaris) de la funció.

b.

Sabent que el criteri del hessià no permet classificar aquests punts, determineu mitjançant un procediment alternatiu si es tracta de màxims locals, mínims locals o punts de sella.

Sigui $f(x, y) = \ln(1 + 2x + 3y)$.

a.

Determineu i representeu analíticament el seu domini de definició.

Sigui $f(x, y) = \ln(1 + 2x + 3y)$.

b.

Identifiqueu les regions del domini on $f(x, y)$ és còncava o convexa.

Considerem la funció $f(x, y) = e^{x^2+y^2}$ sotmesa a la lligadura lineal $x - y = 2$.

a)

Trobeu els punts estacionaris condicionats mitjançant el mètode de Lagrange:

$x =$, $y =$

$\lambda =$

b)

Dibuixeu la recta de restricció i les corbes de nivell $e^2$ i $e^4$ de la funció.

c)

Classifiqueu els punts obtinguts a l'apartat (a) emprant exclusivament el mètode gràfic:

d)

Classifiqueu els mateixos punts fent ús del menor orlat i indiqueu el valor del determinant hessià orlat $|H^*|$:

Trobeu els màxims i mínims globals de la funció $f(x, y) = x^2 + 10y$ en el recinte compacte $S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \le 100,\; y \ge 0,\; x - y \ge 0\}$. Dibuixeu el domini.

•

Mínim global:

(,)

•

Màxim global: