Problema 13 · Matemàtiques Ii UPF 2012

Final 2018-19 - Problema 4 (8 punts). Forma quadràtica de producció

La producció d'una empresa s'intenta modelitzar mitjançant la forma quadràtica:

$$P(L, K) = L^2 + K^2 - 6LK$$

on $L$ indica el nombre de treballadors i $K$ el nombre de màquines.

a)

Demostreu que la funció $P$ pot prendre tant valors estrictament positius com estrictament negatius.

b)

Per motius organitzatius de torns, s'exigeix la presència de 6 treballadors per cada màquina disponible. Demostreu mitjançant l'ús de determinants que, sota aquesta restricció, sempre es compleix $P(L, K) \ge 0$ i que per tant la funció sí que té sentit econòmic com a funció de producció.